Conjecture nombres premiers jumeaux

[Thalès]

Bonsoir tout le monde,

Je viens de poster ce message pour ouvrir une discussion sur la célèbre conjecture des nombres premiers jumeaux de la théorie des nombres, je rapelle que la conjecture dit que : Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit également premier ou en gros, il existe une infinité de paires de nombres premiers jumeaux.
Personnellement, je pense que la conjecture est fausse car plus le nombre est très grand, plus il y a des possibilités pour trouver un facteur premier à ce nombre, et on remarque aussi que la distance entre les nombres premiers ne fait qu'augmenter, donc il y aura certainement un stade où il n'y aura plus de nombres premiers jumeaux, ceci reste mon avis, les mathématiciens pensent le contraire :we:
Vous savez, quand on trouve une conjecture qui traite l'infinité de quelques nombres, il est impossible de prouver qu'elle est fausse, car on peut pas utiliser la technique du contre-exemple.
Le plus grand nombre d'une paire de nombres premiers jumeaux est le seul nombre impair qui peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers donc en gros la conjecture peut être écrite comme ceci : Il existe une infinité de nombres premiers qui s'écrient sous la forme de deux nombres premiers.
Et vous, qu'est-ce que vous en pensez?

[abcd22]

Bonjour,

Personnellement, je pense que la conjecture est fausse car plus le nombre est très grand, plus il y a des possibilités pour trouver un facteur premier à ce nombre, et on remarque aussi que la distance entre les nombres premiers ne fait qu'augmenter, donc il y aura certainement un stade où il n'y aura plus de nombres premiers jumeaux, ceci reste mon avis, les mathématiciens pensent le contraire :we:

Ce n'est pas parce que la densite des nombres premiers diminue quand on augmente l'intervalle ou on les cherche que c'est impossible qu'il y ait une infinite de nombres premiers jumeaux. Ton raisonnement ressemble a "1/n devient de plus en plus petit quand n est grand donc la serie de terme general 1/n doit converger".

Vous savez, quand on trouve une conjecture qui traite l'infinité de quelques nombres, il est impossible de prouver qu'elle est fausse, car on peut pas utiliser la technique du contre-exemple.

Pourquoi donc ca serait impossible de prouver qu'elle est fausse ? On peut supposer qu'elle est vraie et montrer qu'on aboutit a une contradiction, ou demontrer que tous les nombres qui verifient cette propriete sont inferieurs a un certain N.

[sandrine_guillerme]

Bonjour ,

Je suis d'accord avec abcd22, sur le fait qu'on peut bien entedu le démontrer par l'absurde et d'ailleurs, Euler avait démontré le résultat de "il exite une infinité de nombre premiers" par l'absurde donc c'est Absurde ce que Thalès vient de dire :we: .

à mon avis il est tout à fais possible que l'on démontre que le résultat est vrai surement pas par le même schéma de démonstration d'Euler .. et voilà je vous expose ce que j'avais lu dans un article très intéréssant sur "Futura"
je vous transmet ce qui a été ecrit sur le sujet.

"En particulier, une idée simple consisterait à reprendre le schéma de la démonstration d'Euler : en supposant que la somme des inverses des nombres premiers jumeaux diverge, les nombres jumeaux ne pourraient être en quantité finie. Toutefois le mathématicien norvégien Viggo Brun a mis fin à cet espoir en prouvant (1919) que cette série est toujours convergente, quand bien même les nombres premiers jumeaux seraient en nombre infini. En son honneur, la somme de cette série s'appelle la constante de Brun et vaut approximativement :
1+(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+(1/17+1/19)+... =(àpeu près) 1,902 160 583 104"



P.S : voir l'intégralité de l'article ici où l'on met aussi la découverte par un français :zen: Eric Vautier de deux nouveaux nombres premiers jumeaux !

[wouf]

... donc c'est Absurde ce que Thalès vient de dire

ça, ça va passer au zapping :zen:

;)
Une petite remarque de syntaxe, le symbole environ égal est faisable en tappant
qui donne à l'affichage :;)

[sandrine_guillerme]

Merci wouf :zen:

[Joker62]

Même si j'ai jamais été un grand fan de l'arithmétique, j'avoue c'est pas mal ces nombres premiers jumeaux

[Thalès]

Je me suis mal exprimé je voulais dire que c'est un peu difficile de démontrer l'infinité de quelques nombres vu qu'on va pa utiliser le principe du contre -exemple car il est le plus utilisé, comme pour réfuter la conjecture d'Euler.
Je pense que je suis convaincu du fait qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, mais comment procéder à la démonstration c'est ça le plus difficile

[imanuelga]

Bonjour ,

Quelque chose m’étonne. Pour démontrer qu’il y a une infinité de nombre premier, la démonstration d’Euclide revient à dire que si l’on a la liste de tous les premiers jusqu’à un certain nombre, on sait construire un nouveau premier en multipliant les nombres de cette liste et en ajoutant un. Car si ce nouveau nombre était divisible par un nombre premier « d » de cette liste, cela reviendrait à dire que 1 aussi serait divisible par ce diviseur.

Mon étonnement est le suivant : de la même façon que l’on construit un nombre premier en ajoutant 1, si l’on soustrait 1, ce nombre sera premier pour les mêmes raison que précédemment. Donc il existe une infinité de nombres premiers jumeaux et la conjecture est ... évidente!

Où est-ce que je me trompe ?

Sincères salutations,

[Ben314]

Bonjour ,

Quelque chose m’étonne. Pour démontrer qu’il y a une infinité de nombre premier, la démonstration d’Euclide revient à dire que si l’on a la liste de tous les premiers jusqu’à un certain nombre, on sait construire un nouveau premier en multipliant les nombres de cette liste et en ajoutant un. Car si ce nouveau nombre était divisible par un nombre premier « d » de cette liste, cela reviendrait à dire que 1 aussi serait divisible par ce diviseur.

Mon étonnement est le suivant : de la même façon que l’on construit un nombre premier en ajoutant 1, si l’on soustrait 1, ce nombre sera premier pour les mêmes raison que précédemment. Donc il existe une infinité de nombres premiers jumeaux et la conjecture est ... évidente!

Où est-ce que je me trompe ?

Sincères salutations,

Là ou tu te gourre, c'est dans le fait que, si P1,P2,...Pn est la liste des n premiers nombres premiers, alors il n'y a aucune raison que (P1xP2x...xPn)+1 soit premier. Tout ce qu'on peut dire, c'est que les nombres premiers qui apparaissent dans sa décomposition ne sont ni P1, ni P2,... ni Pn.
Idem pour (P1xP2x...xPn)-1.

Par exemple, (2x3x5x7)-1 = 11x19 n'est pas premier.
et (2x3x5x7x11x13)+1 = 59x509 n'est pas premier

[imanuelga]

merci pour la réponse si rapide !

J'ai eu mon moment de gloire éphémère !!

Cdt !

[nodjim]

Vu le nombre de références évoquées, je trouve un peu fort de dire qu'il n'est pas requis de grandes connaissances en arithmétique....
Perso, je n'ai pas le niveau pour lire ça.

[nodjim]

Salut bouracheau,
Pour un petit bachelier comme moi, je t'assure que c'est incompréhensible. Je pars vraiment de trop loin pour prétendre y accéder.
En revanche, si tu pouvais faire une sorte de résumer sur la démarche, ça m'intéresse, et sans doute d'autres aussi.
Au plaisir de te lire.

[Doraki]

Personne d'autre a l'impression qu'il dit qu'une somme infinie de termes est équivalente à la somme infinie des équivalents de ces termes ?

[bouracheau]

Salut bouracheau,
Pour un petit bachelier comme moi, je t'assure que c'est incompréhensible. Je pars vraiment de trop loin pour prétendre y accéder.
En revanche, si tu pouvais faire une sorte de résumer sur la démarche, ça m'intéresse, et sans doute d'autres aussi.
Au plaisir de te lire.

Oui, c'est vrai que c'est un peu difficile pour le niveau bac mais il y a un commencement à tout. Je ne suis pas devenu un prof de math en un jour et la théorie des nombres est d'un niveau très élevé et fait appel aux plus hautes sphères de l'intelligence. Cependant, au niveau bac, on peut parcourir un bout du chemin et comprendre l'idée fondamentale qui préside la démonstration. Il s'agit avant tout de séparer l'ensemble des nombres premiers en deux catégories, mais avant, il faut savoir ce qu'on entend par sup-jumeaux et inf-jumeaux (c'est notre notation à nous). Voilà des couples de jumeaux (3,5) (5,7) (11,13) (17,19) etc...3, 5, 11, 17, etc...sont des inf-jumeaux tandis que 5, 7, 13, 19, etc...sont des sup-jumeaux.
Pour commencer, on considère l'ensemble noté M des nombres impairs qui ne sont pas premiers. Les éléments de cet ensemble n'ont nullement besoin d'être connus individuellement pour raisonner. Par exemple, on ne connaît pas individuellement les entiers naturels, pas plus que les décimales du nombre pi=3.1415926535.......et cela n'empêche pas de travailler. Ces éléments, donc, peuvent être trouvés grâce au crible de Sundaram, mais cela ne sert à rien pour ce que l'on veut en faire. Si on ajoute à chaque élément de M le nombre 2, on obtient un nouvel ensemble noté M* dont on sépare les éléments en deux classes. On trie donc alors les nombres de M* : d'une part on met dans G indice 0 les nombres de M* qui ne sont pas premiers et dans G indice 1 ceux qui le sont. G indice 0 ne joue pas de rôle dans la suite. On voit alors tout de suite que G indice 1 ne contient pas tous les nombres premiers. Si on lui ajoute ceux qui manquent, on obtient alors l'ensemble noté P de tous les nombres premiers. Si on veut bien se donner la peine de réfléchir un peu et de suivre le raisonnement exposé dans le document, on voit que ces nombres premiers ajoutés ne peuvent faire partie de M* en raison de la façon dont les éléments de M* ont été fabriqués (le dessin est clair à ce sujet) et, ce qui est plus important, c'est que l'ensemble en question contient tous les sup-jumeaux et rien d'autre c'est-à-dire les nombres 5, 7, 13, 19, 31, 43, 61, etc ...... J'insiste là-dessus, tous les sup-jumeaux et rien d'autres. C'est tout ce que l'on peut dire d'exact arrivé à ce point. Si, alors, on arrive à prouver, d'une manière ou d'une autre, que cet ensemble (des sup-jumeaux) est infini, la conjecture est évidemment établie et devient un théorème. Comme on ne peut pas le faire directement, on biaise et on envisage de dénombrer P - G indice 1 en se servant de théorèmes bien établis. Pour être précis, en fait, on ne dénombre pas P - G indice 1 (cela ne peut se faire et n'a pas de sens), mais on cherche à prouver à l'aide des théorèmes cités que le nombre de sup-jumeaux compris entre (racine de x + 2) et (x + 2) est (quand x devient grand, à cause des conditions d'utilisation des théorèmes nécessaires) un nombre voisin d'une valeur connue, qui elle est supérieure à 1 en tout cas (et d'ailleurs très largement puisque, le théorème le prouve, si x tend vers l'infini, il y en a un nombre qui tend aussi vers l'infini). Toute l'astuce du raisonnement qui vient à la suite consiste à manier correctement l'outillage déjà à la disposition des mathématiciens, c'est-à-dire le théorème de Chebotarev, l'indicatrice d'Euler dont il faut connaître quelques propriétés, et le troisième théorème de Mertens, plus quelques détails d'arithmétique assez faciles à établir. ainsi, si entre (racine de x + 2) et (x + 2) il y a au moins un sup-jumeaux, la preuve est faite qu'il y a une infinité de nombres premiers jumeaux. Mais là je ne peux aller plus loin, vous renvoyant au document dont vous avez l'adresse. Ceci vous a-t-il éclairé sur la voie qui a servi pour la démonstration ?

[syrac]

@nodjim,

Si tu lis l'anglais voici deux liens qui pourraient t'intéresser :

http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html

http://demonstrations.wolfram.com/PrimeGaps/

Ce dernier lien propose une application interactive au format CDF (Computable Document Format) montrant la répartition des nombres premiers jumeaux (diffèrent de 2), cousins (diffèrent de 4), et "sexy" (diffèrent de 6). Le Wolfram CDF player doit être installé sur ton ordi. Il existe aussi un plugin pour Firefox (c'est ce que j'utilise), mais je ne sais pas s'il peut s'installer indépendamment du player (en tout cas je n'ai jamais installé le player et le plugin fonctionne à merveille).

[nodjim]

Merci Bouracheau
Le début de ton résumé est bien détaillé, mais cette partie, le début de la démo, est assez facile à comprendre. C'est ensuite que ça se gâte, la démonstration du théorème par l'utilisation de formules assez compliquées....

A une époque, j'avais calculé une valeur minimale de premiers jumeaux entre un nombre premier et son carré, valeur qui grandissait avec le nombre, mais il restait une part "répartition moyenne" dans la démonstration.

[syrac]

Je pense que c'est Einstein qui a dit ça, mais c'est à vérifier : "L'état de conscience qui a créé le problème ne peut pas le résoudre". Nous avons créé les nombres mais quelque chose dans leur structure nous échappe. Dans ce cas précis la phrase citée signifie : aussi longtemps que nous regarderons les nombres comme nous les avons conçus et toujours regardés, la répartition des nombres premiers continuera de nous échapper. En d'autres termes, il faudrait un autre état de conscience pour commencer à y voir clair.

[bouracheau]

Merci Bouracheau
Le début de ton résumé est bien détaillé, mais cette partie, le début de la démo, est assez facile à comprendre. C'est ensuite que ça se gâte, la démonstration du théorème par l'utilisation de formules assez compliquées....

A une époque, j'avais calculé une valeur minimale de premiers jumeaux entre un nombre premier et son carré, valeur qui grandissait avec le nombre, mais il restait une part "répartition moyenne" dans la démonstration.

Je ne puis pas, bien évidemment, refaire la démonstration. Ce n'est pas comme si j'étais au tableau avec un auditoire attentif qui peut demander une explication quand ça "coince" dans l'une ou l'autre des têtes. Cependant, avec un peu de courage, et en se mettant au travail pour comprendre ce qu'est le principe d'inclusion-exclusion et les différents théorèmes utilisés dans les conditions d'application qui sont les leurs, on peut y arriver. La suite consiste à fabriquer des suites géométriques de nombres premiers, dont la réunion est G indice 1. C'est là toute l'astuce de l'auteur. A ces suites bien choisies, on peut alors appliquer, comme il est montré, en premier le principe d'inclusion-exclusion puis ensuite le théorème de Chebotarev. Intervient dans ce théorème ce qu'on appelle l'indicatrice d'Euler qui permet de faire des transformations sur les expressions trouvées. Enfin intervient le troisième théorème de Mertens qui permet une dernière transformatio qui mène à la conclusion. Il n'est nulle part question de formules mais de théorèmes qui affirment que certaines égalités sont à peu près justes "à l'infini", et d'autant plus justes que l'on est dans le lointain. C'est aussi bête que cela.

[nodjim]

Ok. Je continue d'y regarder tranquillement.

As tu une réponse à la remarque de Doraki ?
"Personne d'autre a l'impression qu'il dit qu'une somme infinie de termes est équivalente à la somme infinie des équivalents de ces termes ?".

[nodjim]

Une remarque tout de même:
Parmi les Si, certaines d'entr'elles n'ont qu'un faible cardinal, ce sont celles qui sont attachées à un produit de facteurs premiers: pi*pj*pk*pl,... Et ce cardinal est indépendant de n ,même pour un n très grand, les derniers Si auront un faible cardinal. Dans ce cas, est il légitime de l'évaluer avec la formule Pi/phi qui n'est valable apparemment que pour des ensembles importants ? Combien de ces Si alors vont être mal évaluées ?
C'est une réserve à lever.