Commuter avec le max

[Sylviel]

Salut,

j'ai une petite question ouverte pour vous :

soit g une fonction de deux variable telle que


et pour tout c


J'aimerais caractériser g. J'ai l'impression que soit g = max, soit g = x soit g=y.

Après faut faire de même avec un nombre N de variables, puis avec une infinité de variables...

[fatal_error]

slt

P1 :
Posons x g(x,y) = g(c,y)

cas 2.2
max(c,g) = c
g(max(c,x),max(c,y))=g(c,y)
====> c = g(c,y)

on déduit g(c,y) = g(x,y) pour c comprit entre x et y.

Enfin, je pense

[Sylviel]

Je suis d'accord pour ta disjonction de cas, mais j'ai un peu du mal à suivre la fin.

En gros ton 2.1 dis :
pour tout x
Et le 2.2 dis :
pour tout g(x,y)
mais je n'en conclut pas que g(c,y)=g(x,y), non ?

[fatal_error]

oui la fin est moyen. (la deduction est que si on veut pas faire une disjonction de cas pour la def de g)


pour x et y fixes.
on va avoir un g(x,y) qui va associer une valeur dans [x;y] que j'appele G.
2.1) pour c dans [x;G], on a g(c,y)=G
2.2) pour c dans [G;y], on a c=g(c,y)

On deduit pour c dans [x;G] on a g qui se comporte comme le max
pour c dans [G,y], on a g qui se comporte comme le min

Maintenant, si on veut pas caracteriser g en faisant de la dissection díntervall, on impose a g de respecter en meme temps 2.1 et 2.2:
g(c,y)=G et c=g(c,y), pour un c pris dans [x;y]
idem
g(c,y)=G
et
g(c,y)=c
ce qui n'a pas de sens puisque dans le premier cas, g(c,y) est une constante et pour le deuxieme cas une variable.

Donc je crains qu il faille dissequer [x;y] pour caracteriser g.

[Doraki]

Fixons y.
si x1 <= x2 <= y alors d'après (P2), max (x2, g(x1,y)) = g(x2,y).
Donc g(x1,y) <= g(x2,y), ce qui veut dire que g est "croissante sur son argument le plus petit".

S'il existe x1 < x2 <= y tel que g(x1,y) < g(x2,y) alors g(x2,y) = x2, et on a même g(x,y) = x pour tout x dans [x2;y].
Sinon, alors g(x1,y) = g(x2,y) = k pour tout x1 <= x2, et cette constante k est dans [x2;y] par (P1).
Si x2 <= x2' < k, alors on ne peut pas avoir g(x2',y) = x2' (par croissance de g), on est pas dans le cas d'avant, donc g(x2',y) = k aussi.
Si k < x2' < y, on a donc k < g(x2',y) par (P1), et donc on est dans le cas d'avant, et g(x2',y) = x2'.
Par croissance de g on a donc pour finir g(k,y) = k, et g(y,y) = y par (P1).

Donc pour tout y il existe k(y) dans [-l'infini ; y] tel que g(x,y) = max(x,k(y)) pour x<=y
De même, pour tout x il existe l(x) dans [-l'infini ; x] tel que g(x,y) = max(y,l(x)) pour y<=x

Et quelque soit le choix des fonctions k et l, ça donne une fonction qui respecte tes deux conditions :

si x,c <=y alors
max(c,g(x,y)) = max(c,x,k(y)) = max(max(x,c),k(y)) = g(max(x,c),max(y,c)).
si x <= y <= c, alors
max(c,g(x,y)) = c = g(c,c) = g(max(x,c),max(y,c)).
etc.


Donc au final il y en a beaucoup d'autres que max, x, et y.