Comment Résoudre cette "équation" ?

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Euler07
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par Euler07 » 11 Jan 2010, 19:11

[FONT=Comic Sans MS]Oui en effet je peux confirmer lol[/FONT]



benekire2
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par benekire2 » 11 Jan 2010, 20:31

Nightmare a écrit:Salut !

Historiquement parlant, il me semble qu'Euler a introduit sa fonction exponentielle comme réciproque du logarithme de Neper.

salut :id:
oui c'est vrai mais quand je dit à la base c'est comme on l'apprend au lycée, l'exponentielle est plus souvent définie comme solution de l'équation différentielle y=y' avec f(0)=1

après euler l'a certainement définie comme la fonction réciproque de la fonction ln ...

Matt_01
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par Matt_01 » 11 Jan 2010, 23:01

Pourquoi la méthode Svear "marche" ?

Simplement parce qu'en fait on traite de suite :
Ici on a une suite telle que et
On peut montrer que cette suite est décroissante à partir du second rang (pourvu qu'on prenne A pas trop loin de par exemple sa partie entière).
De plus elle est positive. Elle est finalement décroissante et minorée (par 0) : elle est donc convergente de limite .
Or avec continue.
Ainsi vérifie soit soit
Or est positive car la suite est positive. Ainsi

De la même manière que pour les cosinus, les exponentielles ou les logarithmes, il existe des suites (en vérité dans ces cas là elles sont plus exprimées comme des séries mais c'est tout de même des suites) qui convergent vers les valeurs que l'on veut, aussi proche que l'on veut de la valeur recherchée. C'est comme ça aussi que l'on calcule un nombre énorme de décimales de : dans ce cas là on cherche même la vitesse de convergence, c'est à dire la suite qui va nous rapprocher de la valeur à plus grande vitesse et avec le moins de calculs possibles.

benekire2
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par benekire2 » 12 Jan 2010, 11:28

en cherchant un peu on trouve des suites qui approximes plus ou moins bien pi, e, les logarithmes les exponentielles, les racines ... etc, sous forme de série c'est même une égalité.

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Ben314
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par Ben314 » 12 Jan 2010, 11:51

Salut,
La méthode proposée ici pour évaluer le racine d'un réel A est appellée "algorithme de Babylone" ou "méthode de Héron".
A mon avis, la meilleure façon de visualiser pourquoi la suite tend vers racine de A est de la voir comme l'application de la méthode des tangentes de Newton à le fonction f(x)=x²-A.
Vous pouvez regarder par exemple ici (ou taper "algorithme de Babylone" ou "méthode de Héron" ou "méthode des tangentes de Newton" sous google) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton
A part peut-être la vitesse de convergence, c'est parfaitement accéssible pour un élève de Lycée.
Ce site donne quand à lui une vision plus géométrique de la méthode :
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/pedalyc/dosped/analyse/pb_1ts/alg_bab.htm
et il est de niveau lycée et les calculs sont à peu prés ceux fait par
Matt_01

P.S. Si ça vous amuse, essayez de trouver (avec la méthode de Newton) une suite qui tend vers racine_cubique(A) puis vérifiez sur un ou deux exemples que cela va trés vite....
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

benoit16
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par benoit16 » 14 Jan 2010, 08:53

[quote="Sve@r"]Euh, la base du logarithme népérien. Pourquoi 2,7 et pas 4,12, j'en sais rien.

benoit16
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par benoit16 » 14 Jan 2010, 08:56

Sve@r a écrit:Euh, la base du logarithme népérien. Pourquoi 2,7 et pas 4,12, j'en sais rien.


e = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... 1/n

Sve@r
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par Sve@r » 14 Jan 2010, 10:20

benoit16 a écrit:e = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... 1/n


Euh oui mais la question de Lostounet était "pourquoi avoir choisi ce nombre comme base (au lieu d'un autre comme par exemple 1+1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...)
benekire2 a donné une raison qui m'a beaucoup plu: c'est le nombre qui est solution de l'équadiff f'(x)=f(x)

benekire2
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par benekire2 » 14 Jan 2010, 10:31

enfin disons que la seule fonction qui vérifie y=y' et f(0)=1 est la fonction exponentielle et que l'image de 1 par cette fonction est e.

On peut aussi définir e d'autres manières ...

Alpha
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par Alpha » 14 Jan 2010, 11:26

benoit16 a écrit:e = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... 1/n

Euh, non.

Si c'est bien la série des inverses des entiers que tu as voulu écrire, sache qu'elle est divergente (la somme que tu as écrite tend vers + l'inf).

Skullkid
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par Skullkid » 14 Jan 2010, 12:28

Sve@r a écrit:benekire2 a donné une raison qui m'a beaucoup plu: c'est le nombre qui est solution de l'équadiff f'(x)=f(x)


Si on veut oui...

Personnellement je trouve ça bizarre de penser qu'on a "choisi" ce nombre comme base : ce n'est pas arbitraire, e est la base de l'exponentielle népérienne. Et si cette fonction a une place particulière en maths, c'est entre autres parce qu'elle vérifie exp' = exp et exp(0) = 1. Mais faut pas imaginer qu'il y a eu un colloque de matheux qui s'est réuni et qu'ils ont cherché quel nombre serait le plus glamour pour devenir la nouvelle constante mathématique à la mode...

e = 2,71... pour la même raison que pi = 3,14... : c'est comme ça.

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Ben314
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par Ben314 » 14 Jan 2010, 12:45

Pour ceux qui veulent un "résumé" de l'histoire des logarithmes, il y a (évidement) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme
Un résumé : les log sont apparus pour simplifier les calculs (multiplicationaddition) et, jusque là la base est quelconque.
Il me semble qu'au départ, pour créer une table de log (par exemple décimaux), l'idée est que log(1)=0, log(10)=1 et si on veut que la formule log(ab)=log(a)+log(b) soit vrai, on doit prendre log(racine(10)=1/2, log(racine_quatrième(10))=1/4... donc pour calculer log(x), on encadre x par des produits de racines 2^n-ièmes de 10...
Jusque là, la base du log n'avait aucune importance.
C’est Huygens (en 1661) qui constate que la primitive de 1/x qui s'annule en 1 est... un logarithme et c'est à partir de là que "e" devient remarquable...

Pour les "plus courageux", il y a ça :
[url]http://www.ulb.ac.be:8070/cedop/tools/stat.php?file=Histlogarithmes.pdf&titre=L'histoire%20des%[/url]
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

benoit16
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par benoit16 » 14 Jan 2010, 20:20

Oui , je me suis trompé pour e .

En fait e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! +1/5! ... + 1/n!
soit 1 + 1 + 0.5 + 0.166+0.0416 + 0,0083 +.... = 2,7159

Si on continue le développement ci dessus on arrive à la valeur
e = 2,7182818284590452353602874713527

voilà

 

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