Comment Résoudre cette "équation" ?

[Lostounet]

Salut. Bienvenue sur mon tout dernier topic!
Toute aide serait la bienvenue :we:

Je me pose cette question depuis un bout de temps.
Comment résoudre une équation du type:

8^x = 64 ?
(x = 2, mais comment trouver?)
OU BIEN, par exemple:

8^x = 52

Merci d'avance ! :id:

[Sve@r]

Salut. Bienvenue sur mon tout dernier topic!
Tout aide serait la bienvenue :we:

Je me pose cette question depuis un bout de temps.
Comment résoudre une équation du type:

8^x = 64 ?
(x = 2, mais comment trouver?)
OU BIEN, par exemple:

8^x = 52

Merci d'avance ! :id:

Salut,
Ce type de résolution n'est pas du niveau collège mais s'apprend en 1ère scientifique au minimum.
Il te faut passer par les logarithmes qui permettent de transformer une multiplication en addition, et un exposant en multiplication

Un logarithme est une opération qui, pour x, te donne y tel que , e étant la base du logarithme népérien et valant 2,71828.

Grâce à cette opération, on peut transformer une multiplication en addition et une puissance en multiplication selon les règles suivantes:
ln(a * b) = ln(a) + ln(b)
ln(a^b) = b ln(a)

Donc ici,

[oscar]

8 ^ x = 64

8 ^ x = 8 ^2

8 ^ x / 8 ^2 = 1 = 8 ^0

Applique la formule a ^ m/ a^ n

[Lostounet]

MODIF. Une minute svp.

[Lostounet]

Salut,
Ce type de résolution n'est pas du niveau collège mais s'apprend en 1ère scientifique au minimum.
Il te faut passer par les logarithmes qui permettent de transformer une multiplication en addition, et un exposant en multiplication

Un logarithme est une opération qui, pour x, te donne y tel que , e étant la base du logarithme népérien et valant 2,71828.

Grâce à cette opération, on peut transformer une multiplication en addition et une puissance en multiplication selon les règles suivantes:
ln(a * b) = ln(a) + ln(b)
ln(a^b) = b ln(a)

Donc ici,

Pourquoi 2,71828? C'est quoi?

Un petit problème vient de s'imposer:
J'ai essayé avec ma calculatrice, de faire:
log (52)/ log (8) = 1,900146573...
Et
In (52)/ In (8) = 1,900146573...

8^(ANS) = 52
Donc c'est exactement pareil pour les deux!

J'obtiens la même chose.. Pourquoi !?!

J'ai compris ton raisonnement oscar, mais il n'a pas l'air de marcher pour le = 52, ou l'on est confronté à résoudre à nouveau une autre équation de ce type.

[Sve@r]

Pourquoi 2,71828? C'est quoi?

Euh, la base du logarithme népérien. Pourquoi 2,7 et pas 4,12, j'en sais rien.

Un petit problème vient de s'imposer:
J'ai essayé avec ma calculatrice, de faire:
log (52)/ log (8) = 1,900146573...
Et
In (52)/ In (8) = 1,900146573...

Oui. La fonction ln(x) renvoie y tel que . Et la fonction log(x) renvoie y tel que . ln c'est le logarithme népérien base e, et log c'est le logarithme décimal base 10. Mais effectivement, étant donné que les deux opérations ln et log sont de même nature (il n'y a que la base qui change), que tu divises deux ln ou deux log, cela te donnera le même résultat, car les propriétés ln et log sont identiques.
ln(a^b)=b ln(a)
log(a^b)=b log(a)

Donc
Et comme =>

[Lostounet]

Euh, la base du logarithme népérien. Pourquoi 2,7 et pas 4,12, j'en sais rien.


Oui. La fonction ln(x) renvoie y tel que . Et la fonction log(x) renvoie y tel que . ln c'est le logarithme népérien base e, et log c'est le logarithme décimal base 10. Mais effectivement, étant donné que les deux opérations ln et log sont de même nature (il n'y a que la base qui change), que tu divises deux ln ou deux log, cela te donnera le même résultat, car les propriétés ln et log sont identiques.
ln(a^b)=b ln(a)
log(a^b)=b log(a)

Donc
Et comme =>

D'accord, ça va mieux.
Sinon, le problème, c'est un peu le même que celui que j'ai eu pour le "cosinus".
Que fait la touche "log" ? Quelle démarche suit-elle pour trouver?

[Sve@r]

D'accord, ça va mieux.
Sinon, le problème, c'est un peu le même que celui que j'ai eu pour le "cosinus".
Que fait la touche "log" ? Quelle démarche suit-elle pour trouver?

Exact. Calculer un log ou un cosinus, c'est aussi mystérieux l'un que l'autre quand on ne connait que les opérations de base +, -, * et /
Avant qu'il y ait des calculatrices, les mathématiciens utilisaient des tables de logarithmes (des listes écrites de plusieurs centaines de nombres avec le logarithme associé). Quand on sait que le projet Manhattan (bombe A) et les premiers programmes apollo se faisaient à la table à logarithmes, ça laisse rêveur.

Toutefois, c'est amusant que tu te poses la question pour la "touche log" et que tu ne te la sois jamais posée pour la "touche racine". Car je ne pense pas que tu saches calculer la racine carrée d'un nombre avec un simple crayon. Ben je vais te donner une méthode pour calculer la racine carrée de x
Pose A un nombre quelconque positif différent de 0 (ce que tu veux)
Pose ensuite
Enfin tu remplaces la valeur de A par celle de B (tu poses A=B en fait) et tu refais l'opération ci-dessus avec le nouveau A qui a changé. Si t'as un tableur à disposition, tu pourras le faire automatiquement. Ben tu verras qu'au bout d'un petit nombre d'opérations, t'auras au final . Ce genre de suite d'opérations répétitives se nomme "suite" et cette suite là converge (son résultat se dirige petit à petit) vers la racine carrée de x.

Il est tout à fait possible qu'une autre suite (que malheureusement je ne connais pas) converge, elle, vers le logarithme. En tout cas, si cette suite existe, c'est très facile à programmer dans un processeur...

[Lostounet]

Exact. Calculer un log ou un cosinus, c'est aussi mystérieux l'un que l'autre quand on ne connait que les opérations de base +, -, * et /
Avant qu'il y ait des calculatrices, les mathématiciens utilisaient des tables de logarithmes (des listes écrites de plusieurs centaines de nombres avec le logarithme associé). Quand on sait que le projet Manhattan (bombe A) et les premiers programmes apollo se faisaient à la table à logarithmes, ça laisse rêveur.

Toutefois, c'est amusant que tu te poses la question pour la "touche log" et que tu ne te la sois jamais posée pour la "touche racine". Car je ne pense pas que tu saches calculer la racine carrée d'un nombre avec un simple crayon. Ben je vais te donner une méthode pour calculer la racine carrée de x
Pose A un nombre quelconque positif différent de 0 (ce que tu veux)
Pose ensuite
Enfin tu remplaces la valeur de A par celle de B (tu poses A=B en fait) et tu refais l'opération ci-dessus avec le nouveau A qui a changé. Si t'as un tableur à disposition, tu pourras le faire automatiquement. Ben tu verras qu'au bout d'un petit nombre d'opérations, t'auras au final . Ce genre de suite d'opérations répétitives se nomme "suite" et cette suite là converge (son résultat se dirige petit à petit) vers la racine carrée de x.

Il est tout à fait possible qu'une autre suite (que malheureusement je ne connais pas) converge, elle, vers le logarithme. En tout cas, si cette suite existe, c'est très facile à programmer dans un processeur...

Euh Je n'ai pas tout à fait compris celle des racines, pourrais-tu montrer un exemple numérique s'il te plait ?

J'ai cependant compris le principe.

[Sve@r]

Euh Je n'ai pas tout à fait compris celle des racines, pourrais-tu montrer un exemple numérique s'il te plait ?

J'ai cependant compris le principe.

Cherchons la racine de 169
A=ce que je veux donc on va dire 25
B=(A² + 169)/2A = (625 + 169)/50 = 15.88

A=15.88
B=(A² + 169)/2A=(15.88² + 169)/31.76 = 13.26

A=13.26
B=(A² + 169)/2A=13.00257

A=13.00257
B=13.000003

A=13.000003
B=13

A=13
B=13

A=13
B=13

etc... => racine(169)=13

[Lostounet]

Mignon!!!
Pourquoi est-ce que ça marche?!?!

[Ben314]

Euh, la base du logarithme népérien. Pourquoi 2,7 et pas 4,12, j'en sais rien.

Cela vient des dérivées : on peut montrer que la dérivée d'une fonction de la forme x->a^x est de la forme x-> constante*a^x.
Par exemple la dérivée de x->10^x est (environ) x->2,302585*10^x la dérivée de x->2^x est (environ) x->0,693147*2^x.
Le nombre e=2.71828 est certe compliqué, mais il a comme particularité intéressante que la dérivée de x->e^x est x->e^x et c'est le seul nombre a avoir cette particularité...

[Sve@r]

Mignon!!!
Pourquoi est-ce que ça marche?!?!

Aucune idée. Mais c'est pas le seul "truc étonnant" des maths. Par exemple f(x)=sin(x) * cos(x) * 180 / x
Pose x=0.000001 et calcule f(x). T'auras une jolie surprise.

Cela vient des dérivées : on peut montrer que la dérivée d'une fonction de la forme x->a^x est de la forme x-> constante*a^x.
Par exemple la dérivée de x->10^x est (environ) x->2,302585*10^x la dérivée de x->2^x est (environ) x->0,693147*2^x.
Le nombre e=2.71828 est certe compliqué, mais il a comme particularité intéressante que la dérivée de x->e^x est x->e^x et c'est le seul nombre a avoir cette particularité...

Joli. je savais que la dérivée de e^x était e^x mais on m'avait jamais expliqué pourquoi ni que c'était dû à la valeur de "e"...

[Lostounet]

Aucune idée. Mais c'est pas le seul "truc étonnant" des maths. Par exemple f(x)=sin(x) * cos(x) * 180 / x
Pose x=0.000001 et calcule f(x). T'auras une jolie surprise...

Pi!! Pourquoi!? :id: :ptdr:

[Sve@r]

Pi!! Pourquoi!? :id: :ptdr:

La limite de cos(x) quand x tend vers 0 c'est cos(0)=1
La limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 c'est aussi 1 (t'apprendras ça en 1ère)
Il resulte que la limite de f(x) quand x tend vers 0 c'est 1 * 1 * 180 = 180 qui correspond à pi radians

Maintenant, plus compliqué à calculer mais tout aussi amusant:
g(x)=
Pose x=50000...

[abcd22]

Joli. je savais que la dérivée de e^x était e^x mais on m'avait jamais expliqué pourquoi ni que c'était dû à la valeur de "e"...

Comment on t'a défini e alors ? Ça peut être ça, ou si on définit la fonction exponentielle en premier comme une série entière on peut prendre e=exp(1), ou si on définit le logarithme népérien comme la primitive de 1/x qui s'annule en 1, e est le nombre tel que ln(e) = 1. Enfin dans tous les cas on ne sort pas comme ça au hasard que e = tant.

[Sve@r]

Comment on t'a défini e alors ? Ça peut être ça, ou si on définit la fonction exponentielle en premier comme une série entière on peut prendre e=exp(1), ou si on définit le logarithme népérien comme la primitive de 1/x qui s'annule en 1, e est le nombre tel que ln(e) = 1. Enfin dans tous les cas on ne sort pas comme ça au hasard que e = tant.

Quand j'étais en terminale, on m'a défini e comme étant le nombre tel que ln(e)=1.

[benekire2]

Aucune idée. Mais c'est pas le seul "truc étonnant" des maths. Par exemple f(x)=sin(x) * cos(x) * 180 / x
Pose x=0.000001 et calcule f(x). T'auras une jolie surprise.


Joli. je savais que la dérivée de e^x était e^x mais on m'avait jamais expliqué pourquoi ni que c'était dû à la valeur de "e"...

En fait, la fonction exponentielle à a la base été définie comme la solution de l'équation différentielle y=y' et f(0)=1
c'est de là que vient le nombre e,

Par la méthode d'euler, quand tu approxime aux alentours de 1 tu trouve 2.7quelquechose.... c'est comme ça qu'on a eu les premières approximations de e.

[benekire2]

Salut. Bienvenue sur mon tout dernier topic!
Toute aide serait la bienvenue :we:

Je me pose cette question depuis un bout de temps.
Comment résoudre une équation du type:

8^x = 64 ?
(x = 2, mais comment trouver?)
OU BIEN, par exemple:

8^x = 52

Merci d'avance ! :id:

Sve@r et autre t'on répondu,
cenpendant, juste une question :

le 8^x=64 est tout a fait solvable en troisième, mais le 8^x=52 l'est un peu moins déjà pour la simple et bonne raison qu'on ne connait que les exposants entiers en troisième

mais si tu te pose des questions sur les logarithmes et les expponentielles, c'est normal ( ça va très vite arriver dans ton programme )

Si non ben tu peut pas faire grand chose avec ta boite a outils collège...

[Nightmare]

En fait, la fonction exponentielle à a la base été définie comme la solution de l'équation différentielle y=y' et f(0)=1
c'est de là que vient le nombre e,

Par la méthode d'euler, quand tu approxime aux alentours de 1 tu trouve 2.7quelquechose.... c'est comme ça qu'on a eu les premières approximations de e.

Salut !

Historiquement parlant, il me semble qu'Euler a introduit sa fonction exponentielle comme réciproque du logarithme de Neper.