Comment exprimer la hauteur d'une sphère tronquée en fonction de son volume

[E&EMA]

Bonjour à tous,

Je suis nouveau sur ce forum et je sollicite votre aide.
J'ai besoins de calculer la hauteur d'une calotte sphérique en fonction de son volume et autres variables comme le rayon de la sphère ou encore le rayon de base de la calotte.
J'ai bien trouver la formule du volume d'une sphère tronquée mais celle ci est exprimée en fonction de sa hauteur h sous une forme que je n'arrive pas à factoriser de façon à isoler h.
Mon but est ensuite d'utiliser cette formule dans Excel donc je ne peux pas avoir de formule sous la forme d'une intégrale.

Je vous remercie par avance pour votre aide

[chan79]

Bonjour à tous,

Je suis nouveau sur ce forum et je sollicite votre aide.
J'ai besoins de calculer la hauteur d'une calotte sphérique en fonction de son volume et autres variables comme le rayon de la sphère ou encore le rayon de base de la calotte.
J'ai bien trouver la formule du volume d'une sphère tronquée mais celle ci est exprimée en fonction de sa hauteur h sous une forme que je n'arrive pas à factoriser de façon à isoler h.
Mon but est ensuite d'utiliser cette formule dans Excel donc je ne peux pas avoir de formule sous la forme d'une intégrale.

Je vous remercie par avance pour votre aide

Salut
le volume d'une calotte sphérique est donnée par:



Si tu veux h en fonction de V tu as une équation de degré 3 à résoudre

[E&EMA]

Bonjour chan 79,

Je te remercie pour le temps que tu m'accordes.
Ce que je comprend par ta réponse c'est qu'il y a trois solution possible à l'equation et que je ne peux avoir une formule du type h=V*k ou k est un coefficient obtenu à partir des propriétés de la sphère.
Ais je bien compris ou peux tu dans le cas contraire me donner la formule sous cette forme afin que je puisse l'exploiter.

Merci d'avance pour ta réponse.

[Ben314]

C'est à vérifier, mais à mon avis, en moins d'une dixaine d'itérations de la méthode des tangentes de Newton, tu va avoir une valeur trés précise de ton h.

...je ne peux avoir une formule du type h=V*k ou k est un coefficient obtenu à partir des propriétés de la sphère.

Si il y a un truc de sûr et certain, c'est que h ne va pas dépendre linéairement de V !!!

[chan79]

Bonjour chan 79,

Je te remercie pour le temps que tu m'accordes.
Ce que je comprend par ta réponse c'est qu'il y a trois solution possible à l'equation et que je ne peux avoir une formule du type h=V*k ou k est un coefficient obtenu à partir des propriétés de la sphère.
Ais je bien compris ou peux tu dans le cas contraire me donner la formule sous cette forme afin que je puisse l'exploiter.

Merci d'avance pour ta réponse.

Par exemple pour R=10 et V=30





la seule solution qui convient est proche de 1

[Ben314]

Si on pose (connu et ) (inconnu et ) alors :



où
Dans ton tableur, tu part alors de puis tu fait une dixaine de fois et tu aura la valeur de (donc celle de ) avec une trés trés bonne précision.

[chan79]

Si on pose (connu et ) (inconnu et ) alors :



où
Dans ton tableur, tu part alors de puis tu fait une dixaine de fois et tu aura la valeur de (donc celle de ) avec une trés trés bonne précision.

salut
on pourrait aussi appliquer directement la méthode de Newton à la fonction g:

[E&EMA]

Je vous remercie pour toutes vos réponses qui ne m'ont toutefois pas aidées à compiler mon problème dans Excel.
Merci quand même pour votre temps.

[Ben314]

Sans vouloir être "pédant", ça m'a pris environ 3 minutes à mettre en place :
https://drive.google.com/file/d/0ByyHQqLyqzSuWXh4NHQ1RnZlQVE/edit?usp=sharing

Mode d'emploi : tu rentre R puis V (qui doit être inférieur à 4/3 pi R^3) et ça te donne h ainsi que pi/3(3Rh²-h³) (pour vérif)

[M0NSTRE]

Bonjour. La réponse analytique est h(V) = r (1 + 2 cos((acos(1 - 3V/(2πr³)) + 4π )/3))

[anthony_unac]

Bonjour,
Voici une relation à tester sur excel :
h = (sqrt(3) sqrt(3 V^2-4 π R^3 V)+2 π R^3-3 V)^(1/3)/(2 π)^(1/3)+((2 π)^(1/3) R^2)/(sqrt(3) sqrt(3 V^2-4 π R^3 V)+2 π R^3-3 V)^(1/3)+R

[chan79]

salut
En latex, ça fait quoi ?
Sinon pas de souci pour la réponse de MONSTRE. C'est la formule de Cardan. Simplement, il ne faut pas oublier le car il y a 3 solutions et il faut donner la bonne.

[anthony_unac]

Sauf erreur,

[chan79]

Sauf erreur,

y'a un petit souci; sous les racines, après factorisation de 3V, tu as


V est inférieur au volume de la sphère de rayon R.

[anthony_unac]

Votre remarque est pertinente
Du coup je commence sérieusement à m'interroger sur cette solution proposée par Wolfram ?