Comment s'appelle ce type d'entier ?

par **anthony_unac** » 06 Nov 2016, 09:38

Bonjour,
Considérons les entiers naturels

tels que :

avec

ou

Ces entiers portent ils un nom ?

par **Ben314** » 06 Nov 2016, 09:42

Pas dur....
Ce sont des entiers sans facteur carré (ou quadratfrei tiré de l'Allemand il me semble ou squarefree, en Anglais)

par **anthony_unac** » 06 Nov 2016, 09:55

comment ça sans facteur carré et pas sans facteur cubique ou autre ?

par **Ben314** » 06 Nov 2016, 10:20

Si tu as un "facteur cubique" (ou plus) alors forcément tu as un "facteur carré" (qui peut le plus peut le moins...) : Si n est divisible par

(i.e. si on peut "factoriser"

dans n) alors il est forcément divisible par

et, réciproquement, s'il n'est pas divisible par

alors il n'est surement pas divisible par

.

par **anthony_unac** » 06 Nov 2016, 10:41

très bien d'ou le nom squarefree en anglais.

par **anthony_unac** » 06 Nov 2016, 10:46

Connait on la proportion de tels nombres ?

par **Ben314** » 06 Nov 2016, 10:58

C'est dans le lien que je t'ai donné :
Si Q(x) représente le nombre d'entiers sans facteur carré entre 1 et x, alors

.
Donc la proportion de tels nombres entre 1 et x tend vers

lorsque

(ça a pas trop de sens de parler de proportion sur N tout entier ou alors il faut bien préciser ce que l'on entend par là)

par **anthony_unac** » 06 Nov 2016, 12:59

Merci ben, je n'avais même pas calculé que tu avais donné un lien

A la louche (pour x suffisamment grand), 61% des entiers sont de ce type. Ça fait encore beaucoup !