Collection d'exercices amusants

[Anonyme]

@Øktave

Je suis en accord avec toi et je suis à chaque fois émerveillé quand je lis et que je comprends un truc que je ne connaissais pas et qui consiste à des astuces soit par rapport à des calculs plutôt simples , soit à des raisonnements "concis" ou quasi-évidents , une fois lus et assimilés....
( je pense que cela dépend BEAUCOUP de l'auditeur et de l'auditoire )

Je pense que tu peux "collectionner" dans cette discussion un PAQUET d'exercices d'arithmétique , d'algèbre , d'analyse , de géométrie , de proba , en fait de maths...

[pinocchio]

Bonjour !

je vais parler d'un problème un peu long (surtout pour moi, le temps que je le comprenne en entier, il m'a fallu quelques semaines, mais vu mon niveau en maths, c'est un peu normal :girl2:).

On l'appelle parfois le problème du cercle de Moser, il s'agit de diviser un cercle avec des cordes.

On met des points sur la circonférence d'un cercle, et on trace toutes les cordes possibles à partir de ces points.
(il faut respecter la condition que trois cordes ne soient pas concourantes à l'intérieur du cercle, car dans ce cas particulier - comme les diagonales dans un hexagone régulier, par exemple - cela réduirait le nombre de régions.)

Le "jeu" est de trouver le nombre de régions que ces cordes forment dans le cercle, quel que soit le nombre de point qu'on ait mis sur la circonférence. (et trouver la formule générale qui relie le nombre de points avec le nombre de régions formées.)



Par exemple, le cercle a gauche a quatre points sur la circonférence qui forment 8 régions quand on trace toutes les cordes, le cercle de droite a cinq points, qui forment 16 régions.

En fait, jusqu'à 16, on a l'impression que ça suit la formule . (n étant le nombre de points sur la circonférence)
En effet, on a une région avec un seul point, 2 en plaçant 2 points, 4 régions pour 3 points, 8 régions pour 4 points jusqu'à 16 régions pour 5 points.
Mais après, ça ne suit plus : pour 6 point, on a 31 régions...

J'ai trouvé une explication complète de la solution dans ce blog : Quand il pleut des cordes dans un cercle.

C'est un problème que j'ai vu dans au moins deux livres de vulgarisation, et qui ne m'attirait pas vraiment au départ :
mais un lecteur qui avait emprunté le bouquin avant moi l'avait annoté et il avait marqué : moi, je n'ai pas trouvé pareil que ce qui est marqué dans le livre :hum: (il s'agissait de trouver le nombre de régions pour un certain nombre de points, il y avait la réponse, mais sans explications...).

Du coup ça a piqué ma curiosité (ça rendait le bouquin un peu interactif, comme un problème posé sur un forum :crunch:) et j'ai passé un moment à essayer de comprendre cette histoire, je me rappelle que ça m'avait bien plu au bout du compte.