Coefficients multinomiaux

[Rouvire]

Bonjour,

Dans le développement du "multinôme" (A+B+C+...)^n, les coefficients des différents termes (A^a.B^b.C^c....) qui apparaissent sont de la forme n!/a!b!c!... (avec a+b+c+... = n). Ce sont les coefficients multinomiaux.

Par exemple pour (A+B+C)^8, le terme A^4.B^4.C^0 aura pour coefficient 8!/4!4!0! = 70.

On voit bien que si n est premier alors tous les coefficients qui sont supérieurs à 1 sont divisibles par n.

Si n n'est pas premier alors au moins un de ces coefficients ne sera pas divisible par n. Est-ce-que cette assertion est juste et si oui, est-ce-qu'il y a une démonstration?

Merci

[Pseuda]

Bonsoir,

Bonjour,

Dans le développement du "multinôme" (A+B+C+...)^n, les coefficients des différents termes (A^a.B^b.C^c....) qui apparaissent sont de la forme n!/a!b!c!... (avec a+b+c+... = n). Ce sont les coefficients multinomiaux.

Par exemple pour (A+B+C)^8, le terme A^4.B^4.C^0 aura pour coefficient 8!/4!4!0! = 70.

On voit bien que si n est premier alors tous les coefficients qui sont supérieurs à 1 sont divisibles par n.

Je dirais que oui : n premier n'est divisible que par 1 et par lui-même, donc tous les a!, b!, c! ... qui sont tels que a<n, b<n , c<n ..., ne comportent pas de termes qui peuvent le diviser.

Si n n'est pas premier alors au moins un de ces coefficients ne sera pas divisible par n. Est-ce-que cette assertion est juste et si oui, est-ce-qu'il y a une démonstration?

Merci

Cela me paraît vrai aussi. Mais il me semble qu'il faudrait déjà démontrer que les coefficients multinomiaux sont des entiers. (Mais dans tous les cas, il y a des termes de coefficient 1, qui n'est pas divisible par n.)

[Rouvire]

Merci Pseuda,

Je pense que quand on développe l'expression (A+B+C+...)^n on obtient déjà (et entre autre) tous les termes du développement du binôme (A+B)^n avec leurs coefficients (de la forme n!/p!q! avec p+q=n). Ces coefficients sont aussi donnés par la ligne n du triangle de Pascal et dans ce triangle dans les lignes où n n'est pas premier il y a toujours au moins un coefficient qui n'est pas divisible par n.

Peut-être que n!/p!q! (avec p+q = n), n'est divisible par n que quand n est premier avec p et avec q.