Cherche problème analyse

[t.itou29]

Bonsoir,
Je cherche des problèmes d'analyse sympas de niveau ts, c'est pas grave si c'est un peu compliqué, au contraire !

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonsoir,
Je cherche des problèmes d'analyse sympas de niveau ts, c'est pas grave si c'est un peu compliqué, au contraire !

Deux petits exos sympa que j'ai eu en terminale :


Exercice 1 :
Trouver toutes les fonctions définies sur , continue en , vérifiant pour tout réel , .

Exercice 2 :
La suite converge-t-elle ?

:+++:

[t.itou29]

Salut !



Deux petits exos sympa que j'ai eu en terminale :


Exercice 1 :
Trouver toutes les fonctions définies sur , continue en , vérifiant pour tout réel , .

Exercice 2 :
La suite converge-t-elle ?

:+++:

Merci je vais réfléchir dessus. Ça a pas l'air évident !

[t.itou29]

Pour le premier j'ai peut-être une piste:
Pour tout réel x et pour tout entier n, on a :
En faisant tendre n vers l'infini, on a donc , f est donc constante. Mais c'est pas très rigoureux.
Pour le deuxième je pense que non mais pour le prouver...

[beagle]

euh pourquoi constante non nulle ne marche pas?

[capitaine nuggets]

Pour le premier j'ai peut-être une piste:
Pour tout réel x et pour tout entier n, on a :
En faisant tendre n vers l'infini, on a donc , f est donc constante. Mais c'est pas très rigoureux.
Pour le deuxième je pense que non mais pour le prouver...

Ouais, dans les grande ligne c'est ça :++:

[t.itou29]

Ouais, dans les grande ligne c'est ça :++:

Pour la rédaction, je peux dire "quand n tend vers l'infini f(x)=f(0)", c'est pas très rigoureux ?

[capitaine nuggets]

Pour la rédaction, je peux dire "quand n tend vers l'infini f(x)=f(0)", c'est pas très rigoureux ?

Oui, cela vient du fait que f est continue en 0, d'où l'existence de la limite :+++:

[t.itou29]

Oui, cela vient du fait que f est continue en 0, d'où l'existence de la limite :+++:

Ok d'accord, c'est vrai que l'exo est intéressant et sympa. Par contre je dois avouer que je galère un peu pour le deuxième exo. Tout ce que j'ai essayé de faire pour l'instant c'est de montrer que cos(n) prend des valeurs à la fois positives et négatives. J'ai essayé de construire une famille d'entiers tels que cos(n) soit positif et une autre pour qu'il soit négatif mais je n'y arrive pas (d'ailleurs je sais pas si c'est possible).
Après j'ai essayé de montrer que si cos(n)>0 il existe un entier k tel que cos(n+k)0) alors celui associé à n+1 est dans le deuxième ou le troisième donc cos(n+1)<0 et de même s'il est dans le quatrième mais avec n+2. Je continue à réfléchir

[t_charrat]

Je cherche une interpretation a un probleme:
z=0.7*x^2*y+0.3*x*y^2
X etant l'impact potentiel de l'evenement.
Y la frequence de survenance de l'evenement
X et Y peuvent avoir les valeurs suivantes 1 2 3 4 5 seulement
0.7 est le coefficient de ponderation de l'impact
0.3 est le coefficient de ponderation de la frequence.
C'est une matrice a 5 niveau

Merciiiiiii de votre aide

[capitaine nuggets]

[quote="t.itou29"]Ok d'accord, c'est vrai que l'exo est intéressant et sympa. Par contre je dois avouer que je galère un peu pour le deuxième exo. Tout ce que j'ai essayé de faire pour l'instant c'est de montrer que cos(n) prend des valeurs à la fois positives et négatives. J'ai essayé de construire une famille d'entiers tels que cos(n) soit positif et une autre pour qu'il soit négatif mais je n'y arrive pas (d'ailleurs je sais pas si c'est possible).
Après j'ai essayé de montrer que si cos(n)>0 il existe un entier k tel que cos(n+k)0) alors celui associé à n+1 est dans le deuxième ou le troisième donc cos(n+1)0, \exists N\in\mathbb{N},\ (n\ge N \Longrightarrow \|u_n-l\|\le \varepsilon)[/TEX].

[t.itou29]

Tu peux effectuer un raisonnement par l'absurde en utilisant la définition "espilonesque" de la limite (je ne sais plus si elle est toujours au programme de terminale...) :

Définition - Soit une suite réelle (resp. complexe).
On dit que la suite converge vers un réel (resp. complexe ) si .

Elle est plus officiellement au programme (enfin je crois), je n'arrive pas à aboutir à une contradiction, je prendrais bien (pour l>=0) pour arriver à
mais après...

[jonses]

Elle est plus officiellement au programme (enfin je crois), je n'arrive pas à aboutir à une contradiction, je prendrais bien (pour l>=0) pour arriver à
mais après...

Salut
en partant de ce que tu as fait

Tu disposes donc d'un entier naturel N tel que :
(j'ai pris parce que rien ne nous dit que l est strictement positif)
donc pour n plus grand que N, on a :






donc

Or la fonction partie entière est croissante sur R, donc
et par définition de la partie entière :

or

donc

donc

or cos est décroissante sur , donc :

et est un entier naturel clairement plus grand que N

Par ailleurs :




donc

donc

Or la fonction partie entière est croissante sur R, donc


et par définition de la partie entière :

or et

donc

donc

or cos est décroissante sur , donc :

d'où

et est un entier naturel clairement plus grand que N


En somme on a :

(relation (1))

et
soit encore (relation (2))

(1)+(2) donne finalement



Or

contradiction (j'espère qu'il n y a pas trop de coquille ou faute)

[t.itou29]

Salut
en partant de ce que tu as fait

Tu disposes donc d'un entier naturel N tel que :
(j'ai pris parce que rien ne nous dit que l est strictement positif)
donc pour n plus grand que N, on a :






donc

Or la fonction partie entière est croissante sur R, donc
et par définition de la partie entière :

or

donc

donc

or cos est décroissante sur , donc :

et est un entier naturel clairement plus grand que N

Par ailleurs :




donc

donc

Or la fonction partie entière est croissante sur R, donc


et par définition de la partie entière :

or et

donc

donc

or cos est décroissante sur , donc :

d'où

et est un entier naturel clairement plus grand que N


En somme on a :

(relation (1))

et
soit encore (relation (2))

(1)+(2) donne finalement



Or

contradiction (j'espère qu'il n y a pas trop de coquille ou faute)

Ça a l'air bon bien qu'un peu long (ça m'a pris plus de 5 min à tout lire et à comprendre !), fallait vraiment y penser Merci

[jonses]

Ça a l'air bon bien qu'un peu long (ça m'a pris plus de 5 min à tout lire et à comprendre !), fallait vraiment y penser Merci

C'est vrai que c'était un peu long (et surtout plus long à bien comprendre parce que j'ai été assez rapide sur certain point)

En fait j'avais déjà fait un exo qui ressemblait, mais ce qui était ch***t avec celui-là c'est qu'on pouvait pas utiliser des suites du style et pour aboutir à une contradiction.

En revanche on peut utiliser les suites (ce qui est vachement plus simple) pour montrer que la fonction f définie sur par :

n'admet pas de limite en 0 (c'était l'exo que j'ai fait, et qui m'avait fait pensé au cos(n))

[t.itou29]

C'est vrai que c'était un peu long (et surtout plus long à bien comprendre parce que j'ai été assez rapide sur certain point)

En fait j'avais déjà fait un exo qui ressemblait, mais ce qui était ch***t avec celui-là c'est qu'on pouvait pas utiliser des suites du style et pour aboutir à une contradiction.

En revanche on peut utiliser les suites (ce qui est vachement plus simple) pour montrer que la fonction f définie sur par :

n'admet pas de limite en 0 (c'était l'exo que j'ai fait, et qui m'avait fait pensé au cos(n))

C'était l'exemple d'une fonction qui n'admet de limite dans mon cours. Ils construisaient une suite explicite de réels telle que sin(1/x)=1et une autre telle que sin(1/x)=-1. C'est ce que j'ai essayé de faire au départ mais j'ai vite abandonné.

[Ben314]

Salut,
La réponse donnée par jonses est, à mon avis, la plus "pertinente", c'est à dire celle qui montre le mieux que la suite "prend des tas de valeurs différentes" en utilisant trés peu de propriétées du cosinus.
Mais on peut avec de petites astuces faire plus rapide en procédant par l'absurde :
0) Tu suppose que cos(n) tend vers une limite L.
1) Tu écrit cos(n+1)=cos(n)cos(1)-sin(n)sin(1) et, vu que cos(n+1) tend lui aussi L, tu en déduit que sin(n) tend vers un certain truc (dépendant de L).
2) Tu écrit une (ou plusieurs) autres égalité(s) du style cos(n-1)=... et/ou cos(2n)=... et/ou sin(2n)=... etc...
Cela te donne des équations concernant L et tu montre avec quelques petits calculs assez simples que ces équations sont contradictoires.

[t.itou29]

Salut,
La réponse donnée par jonses est, à mon avis, la plus "pertinente", c'est à dire celle qui montre le mieux que la suite "prend des tas de valeurs différentes" en utilisant trés peu de propriétées du cosinus.
Mais on peut avec de petites astuces faire plus rapide en procédant par l'absurde :
0) Tu suppose que cos(n) tend vers une limite L.
1) Tu écrit cos(n+1)=cos(n)cos(1)-sin(n)sin(1) et, vu que cos(n+1) tend lui aussi L, tu en déduit que sin(n) tend vers un certain truc (dépendant de L).
2) Tu écrit une (ou plusieurs) autres égalité(s) du style cos(n-1)=... et/ou cos(2n)=... et/ou sin(2n)=... etc...
Cela te donne des équations concernant L et tu montre avec quelques petits calculs assez simples que ces équations sont contradictoires.

Je connais cette démo (c'est un exemple de mon cours) et je dois avouer qu'elle est vraiment plus simple et courte mais comme tu dis c'est une méthode à astuces, faut vraiment y penser. J'essayais de trouver une autre par moi-même, je partais plus dans la direction de jonses en essayant de découper par intervalles
mais j'étais loin (très loin) d'arriver à la solution finale !

[jonses]

J'essayais de trouver une autre par moi-même, je partais plus dans la direction de jonses en essayant de découper par intervalles
mais j'étais loin (très loin) d'arriver à la solution finale !

Si tu veux mon avis, je te conseille vivement la méthode de Ben314 (à laquelle je n'ai pas pensé : pourquoi faire plus simple quand on peut faire plus compliqué ; non c'est juste que je manque de discernement).
Si jamais tu continues les maths dans le supérieur, ça te sera très utile de trouver des méthodes efficaces et astucieuses

[t.itou29]

Si tu veux mon avis, je te conseille vivement la méthode de Ben314 (à laquelle je n'ai pas pensé : pourquoi faire plus simple quand on peut faire plus compliqué ; non c'est juste que je manque de discernement).
Si jamais tu continues les maths dans le supérieur, ça te sera très utile de trouver des méthodes efficaces et astucieuses

Je viens de commencer les cours d'animaths sur l'arithmétique pour me préparer aux olympiades et pour trouver des astuces et des méthodes efficaces ça entraîne, faut vraiment réflechir pour les trouver !