Cas générique et général

[leon1789]

Autre exemple (plus simple) :
démontrer que le déterminant de la comatrice d'une matrice est égal à .

[leon1789]

Ici encore, un exemple où le cas particulier de la matrice (anti-symétrique) générique sur Z[a_12,a_13,...] entraine le cas général sur un anneau commutatif quelconque. http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=84347

[busard_des_roseaux]

re,
si le sujet est l'adjectif "générique" , cet adjectif signifie "caractéristique du genre". Le triangle générique n'est pas aplati, le triangle quelconque peut l'être.

[ffpower]

Et ce qui est marrant,c est que généralement,il suffit d avoir montrer une egalité sur R(ou C) pour l obtenir dans le cas générique puis donc dans un anneau quelconque.Ainsi,si on a par exemple montrer cayley Hamilton sur R ou C par la methode de son choix(disons par densité des matrices trigo,pour bien utiliser la structure topologique de R lol),on obtient alors une égalité polynomiale(en utilisant le lemme "si 2 polys a plusieurs variables prennent les meme valeurs en toute evaluation réelle,alors ils sont égaux").On en déduit donc le Cayley Hamilton générique,puis donc dans un anneau commutatif quelconque.Ainsi on peut obtenir des résultats purement algébrique dans des anneaux quelconques en utilisant de la topologie lol..

[leon1789]

...On en déduit donc le Cayley Hamilton générique

Alors autant le faire en générique directement :zen:

Ainsi on peut obtenir des résultats purement algébrique dans des anneaux quelconques en utilisant de la topologie lol..

Je crois que le corollaire de ces méthodes topo-analytico-algébriques (certes adaptées au bac+1/+2), c'est que les gens (de tout âge !) finissent par penser que l'analyse (avec tout ses artifices nécessaires en bac+1/+2, mais qui en fait cache la réelle "simplicité" des choses !) est nécessaire pour des trucs qui sont à l'évidence 100% algébriques.

EDIT : vous avez compris quel parti j'ai pris :ptdr:

[leon1789]

re,
si le sujet est l'adjectif "générique" , cet adjectif signifie "caractéristique du genre". Le triangle générique n'est pas aplati, le triangle quelconque peut l'être.

Et alors ?
Ne pas croire qu'un objet algébrique "générique" est quelconque. Bien au contraire, il a des propriétés particulières, qui parfois, permettent justement de faire une preuves intéressantes (je me retiens de dire plus simples, même si...) et qui entaîne le cas général. Ce qui est dommage, c'est de s'en priver alors qu'on l'utilise bien souvent sans même le savoir...

[leon1789]

re,
si le sujet est l'adjectif "générique" , cet adjectif signifie "caractéristique du genre". Le triangle générique n'est pas aplati, le triangle quelconque peut l'être.

Je pense qu'il y a deux manières d'utiliser l'adjectif "générique", qui malheureusement sont antinomiques.

> est un cas > général, sans propriété spéciale : comme tu dis, un exemple générique de triangle est forcément un triangle non aplatit, non rectangle, non isocèle, non ceci, non cela. Ok.
Une démo avec un exemple générique n'entraine pas le cas général... ou alors, c'est une implication "morale" :id:


> (polynôme générique, matrice générique, etc.)
est au contraire un objet unique, dans un cadre très bien décrit ! Ce "truc" générique a des propriétés très très particulières, qui parfois, permettent justement de faire une preuve intéressante (je me retiens de dire plus simple, même si...) et qui entraîne rigoureusement le cas général (ça dépend des résultats à prouver bien sûr). Ce qui est dommage, c'est de s'en priver alors qu'on l'utilise parfois (!) sans même le savoir...

[ffpower]

Alors autant le faire en générique directement :zen:

Certes,pour Cayley Hamilton,c est facile de le faire directement algébriquement,c est juste que j ai repris cet exemple car tu l avais cité,et que j avais la flemme d en chercher un plus compliqué,ou il est difficile de le faire directement algébriquement.Je cherchais juste a expliquer a travers cet exemple comment un résulat sur R pouvait s étendre a un anneau quelconque,

Je crois que le corollaire de ces méthodes topo-analytico-algébriques (certes adaptées au bac+1/+2), c'est que les gens (de tout âge !) finissent par penser que l'analyse (avec tout ses artifices nécessaires en bac+1/+2, mais qui en fait cache la réelle "simplicité" des choses !) est nécessaire pour des trucs qui sont à l'évidence 100% algébriques.

EDIT : vous avez compris quel parti j'ai pris

Tu aimes apparament que chaque chose reste a sa place:de l analyse pour montrer un truc d analyse,de l algebre pour montrer un truc d algebre.Moi,ce serait plutot l inverse.J aime bien quand il faut faire un grand détour pour démontrer un theoreme,utiliser de l analyse pour un theoreme algébrique,ou vice versa.Par exemple,ca me fait kiffer la théorie analytique des nombres,ou on utilise de l analyse complexe poussée pour montrer des résultats sur les entiers..

PS:comment montre tu pour ta demo que le poly caractéristique d une matrice générique est a racines simples?ya plusieurs methodes,mais j'aimerais voir la tienne
Ps2:maintenant que j y pense,ta demo utilise quand meme l existence de cloture algebrique(ou au moins de corps de décomposition).Je ne suis meme pas sur du coup que ta demo purement algebrique soit la demo plus simple finalement

[leon1789]

Tu aimes apparament que chaque chose reste a sa place:

Pas tout à fait. C'est plutôt que je n'aime pas les mélanges qui me paraissent "douteux" (c'est assez subjectif, j'en conviens :zen:)

ca me fait kiffer la théorie analytique des nombres

Oui, c'est certain que c'est très intéressant !...et très difficile...

PS:comment montre tu pour ta demo que le poly caractéristique d une matrice générique est a racines simples?ya plusieurs methodes,mais j'aimerais voir la tienne

Comme il existe des polynômes caractéristiques à racines simples quelque part (pour la matrice diagonale 1,2,3,...n dans M_n(Z) par exemple), cela implique que le polynôme caractéristique de la matrice générique ne peut pas avoir de facteur carré, et qu'il est à racines simples (on est en caractéristique 0).

Tu as un autre argument ?

Ps2:maintenant que j y pense,ta demo utilise quand meme l existence de cloture algebrique(ou au moins de corps de décomposition).Je ne suis meme pas sur du coup que ta demo purement algebrique soit la demo plus simple finalement

Oui, la preuve réclame la construction du corps de décomposition d'un polynôme, mais ce n'est pas si compliqué que ça. (...hum, peut-être que je ne suis pas objectif...)

[ThSQ]

J'ai pas tout lu mais Cayley-Hamilton c'est "juste" (enfin presque ) appliqué à dans .

Ceci dit ma méthode de Léon est intéressante (comme toujours )

[leon1789]

J'ai pas tout lu mais Cayley-Hamilton c'est "juste" (enfin presque ) appliqué à dans .

Oui, je dirais même que c'est appliqué à
et ensuite on évalue X en M !

Jette un oeil sur http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=56128 :zen:

[leon1789]

je fais en fait comme toi,mais dans R(au passage,on s en fout que B soit inversible en fait,on regarde direcetement A->det(AB) et on dit qu elle est proportionnelle a det).Je pensais a cette proposition car elle peut pas se montrer comme ca directement dans un anneau non integre,mais dans l anneau des polynomes ouais on peut..

Je viens en fait de modifier la preuve : une étape sur tout corps + étape "polynomiale".
Personnellement, je n'aime pas utiliser le corps des réels : j'ai l'impression que cela fait des mélanges... mais ce que tu dis me laisse à réfléchir.

Cela dit, je ne veux pas faire croire que le générique est un remède à tout problème ! Si c'était le cas, ça se saurait :zen: Je veux juste signifier que c'est un outil bien pratique dans certains cas (surtout quand on veut faire de l'algèbre commutative sur les anneaux) et que par conséquent, je crois que ce n'est pas à négliger.

Z[X1,..Xn],j ai pas fait en prepa,ni les corps de fractions(mais j étais en PSI aussi).Par contre on étudie l anneau classique des polynomes a une indéterminée,et on nous présentait clairement la différence entre un polynome et une fonction polynomiale(les polynomes ont bien été définis comme une structure sur les suites finies).On a fait entre autre le théorme d injectivité dans les corps infinis de l application P->la fonction poly correspondante.On a bien vu que ce théoreme était faux dans les corps finis,ya pas de soucis la dessus,on voyait clairement la différence entre X et x si on suivait correctement le cours.Faut pas croire que la prepa,c est du bachotage-like sans aucune rigueur hein :we:

Oui. (j'ai parlé des prépas, parce qu'à la fac, c'est même pas la peine...)

Question : en bac+1/+2, quand on calcule un polynôme caractéristique, det(A-x.Id), le x est considéré comme une indéterminée ou un scalaire ?

Je suis d'accord avec toi, mais je ne suis pas convaincu que le message passe bien en ce qui concerne > . En plus Z/nZ est hors programme maintenant... On parle bcp de R[X], C[X], R(X), C(X), mais pas assez de Z[X1...Xn] je trouve. Mais c'est peut-être des idées que je me fais.

[leon1789]

je fais en fait comme toi,mais dans R(au passage,on s en fout que B soit inversible en fait,on regarde direcetement A->det(AB) et on dit qu elle est proportionnelle a det).Je pensais a cette proposition car elle peut pas se montrer comme ca directement dans un anneau non integre,mais dans l anneau des polynomes ouais on peut..

Je viens en fait de modifier la preuve : une étape sur tout corps + étape "polynomiale".
Personnellement, je n'aime pas utiliser le corps des réels : j'ai l'impression que cela fait des mélanges... mais ce que tu dis me laisse à réfléchir.

Cela dit, je ne veux pas faire croire que le générique est un remède à tout problème ! Si c'était le cas, ça se saurait :zen: Je veux juste signifier que c'est un outil bien pratique dans certains cas (surtout quand on veut faire de l'algèbre commutative sur les anneaux) et que par conséquent, je crois que ce n'est pas à négliger.

Z[X1,..Xn],j ai pas fait en prepa,ni les corps de fractions(mais j étais en PSI aussi).Par contre on étudie l anneau classique des polynomes a une indéterminée,et on nous présentait clairement la différence entre un polynome et une fonction polynomiale(les polynomes ont bien été définis comme une structure sur les suites finies).On a fait entre autre le théorme d injectivité dans les corps infinis de l application P->la fonction poly correspondante.On a bien vu que ce théoreme était faux dans les corps finis,ya pas de soucis la dessus,on voyait clairement la différence entre X et x si on suivait correctement le cours.Faut pas croire que la prepa,c est du bachotage-like sans aucune rigueur hein :we:

Oui. (j'ai parlé des prépas, parce qu'à la fac, c'est même pas la peine...)

Question : en bac+1/+2, quand on calcule un polynôme caractéristique, det(A-x.Id), le x est considéré comme une indéterminée ou un scalaire ?

Je suis d'accord avec toi, mais je ne suis pas convaincu que le message passe bien en ce qui concerne > . En plus Z/nZ est hors programme maintenant... On parle bcp de R[X], C[X], R(X), C(X), mais pas assez de Z[X1...Xn] je trouve. Mais c'est peut-être des idées que je me fais.

[leon1789]

Autre exemple assez étrange je trouve :

pour tout couple (a,b) d'éléments appartenant à un anneau commutatif, on a où d=pgcd(m,n)

Personnellement, vu la formule et le contexte, je me place de suite dans Z[A,B][X]. Ensuite, je vais invoquer une extension de cylotomique C_{nm} de Q (mais on peut pendre le corps des complexes C si on préfère) pour utiliser des racines mn-ième de l'unité. Donc je me place en faite dans C[A,B][X] pour prouver . (...je passe la cuisine de l'exo...) Une fois le résultat établit sur C[A,B], il est évidemment valide dans Z[A,B], puis sur tout anneau commutatif.

Là, je suis bien content d'avoir des racines mn-ième de l'unité sous la main, chose impossible de manière générale , même pour des corps de caractéristique non nulle.

Mais vous me direz que, quitte à utiliser le corps des complexes C, autant prendre simplement (les racines de l'unité sont déjà dans C) et faire tout le boulot dans C[X] ! Une fois le résultat établit sur C, on transporte le résultat dans Z[A,B], puis sur tout anneau commutatif.

bon...

[ThSQ]

Jette un oeil sur http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=56128 :zen:

Oui effectivement !