Cantor - Les Infinis

[JoCa]

Bonjour à tous,
Nous avons un exposé à présenter sur Cantor, dont le sujet principal est sa théorie sur les infinis/ensembles.

Nous avons parcouru des sites, livres, magazines, et la difficulté s'est avérée croissante! En effet, comment présenter, démontrer, expliquer une théorie aussi importante que celle-ci, à une classe de 4ème secondaire?
Merci de votre aide providentielle.

JoCa

[st00pid_n00b]

Bonjour à tous,
Nous avons un exposé à présenter sur Cantor, dont le sujet principal est sa théorie sur les infinis/ensembles.

Nous avons parcouru des sites, livres, magazines, et la difficulté s'est avérée croissante! En effet, comment présenter, démontrer, expliquer une théorie aussi importante que celle-ci, à une classe de 4ème secondaire?
Merci de votre aide providentielle.

JoCa

Bonjour,

Exposer Cantor à des 4ème, ça va demander pas mal de simplifications!

Quelques suggestions: je commencerais par leur demander ce qu'ils pensent de l'infini, s'ils connaissent des ensembles infinis et si certains sont "plus grands" que d'autres. Peu importe l'exactitude de leurs réponses pour l'instant.

Ensuite, je leur dirai que je ne sais pas compter au delà de 10 car je compte sur mes doigts. Mais cela ne m'empêche pas de comparer des ensembles. Par exemple, y a-t-il plus de chaises que d'élèves dans la classe? Si tous les élèves sont assis et qu'il y a des chaises vacantes la réponse est oui, pas besoin de compter les chaises et les élèves pour ça. Mais si toutes les chaises sont occupées et qu'il n'y a pas d'élèves debout il y a autant de chaises que d'élèves. On peut comparer des ensembles sans les compter, il suffit de les mettre en correspondance: c'est une première approche de la bijection (oui je sais c'est plus compliqué que ça pour les ensembles infinis, mais il ne faut pas chercher à être trop rigoureux.)

Ensuite on peut dessiner des patates au tableau, une contenant {a; b; c; d; e; f} et l'autre {0; 1; 2; 3; 4; 5} et mettre les éléments en correspondance avec des flèches. Encore une fois, pas besoin de savoir compter pour comparer des ensembles. Ce qui va être très utile pour comparer les infinis car on ne peut pas compter jusqu'à l'infini!

Ensuite, on remplace la première patate par les nombres pairs {0; 2; 4; 6; 8; 10}. Encore une fois, il y a correspondance (bijection). Et si on ajoute d'autres nombres pairs dans le premier ensemble, et au fur et à mesure on ajoute les entiers suivants dans le 2ème ensemble, on peut continuer à les mettre en correspondance, et ce ... jusqu'à l'infini. On a montré une correspondance entre les nombres pairs et les nombres entiers. C'est l'un des premiers résultats étonnants sur les ensembles infinis, il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers!

S'ils ne sont pas convaincus, imaginons que j'ai une infinité de paires de chaussures rangées dans une infinité de boites à chaussures. Croient-t-ils que j'ai plus de chaussures que de boites? Puisque j'ai une infinité de boites rien ne m'empêche de réarranger mes chaussures en en mettant qu'une par boite.

On peut continuer avec la bijection entre N et Z: cette fois il faut changer l'ordre des entiers relatifs: on écrit {0; 1; -1; 2; -2; 3; -3; ...} en bijection avec {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...}

Je propose de laisser tomber la bijection entre Q et N.

Mézalors... tous les infinis sont ils les mêmes? Hé bien le père Cantor à montré que non. Tous les infinis précédents sont des infinis que l'on peut compter. Mais on ne peut pas compter les points d'une droite. Quelle que soit la manière de s'y prendre pour mettre en correspondance les nombres entiers et les points d'une droite il restera des points qui n'ont pas de correspondant. (Évidemment la démonstration par diagonalisation est à proscrire.)

Donc l'infini de la droite (des réels) est "plus grand" que l'infini des entiers. Peut-on trouver des infinis encore plus grands? Peut être certains suggèreront l'infini des points d'un plan. C'est ce que pensait Cantor... jusqu'à prouver le contraire! Il y a "autant" de points dans un plan que dans une droite. Décidément l'infini et notre intuition ça fait deux.

Mais oui il existe des infinis plus grands, c'est un peu plus compliqué à définir (je pense que "'l'ensemble des parties de R", ou "l'ensemble des fonctions R->R" sont des notions un peu compliquées en 4ème), bref croyez moi sur parole. Il y a en fait... une infinité d'infinis!

Et si un petit malin demande s'il y a un infini intermédiaire entre celui des entiers et celui des réels, regardez le fixement dans les yeux et dites... "si tu trouves un jour la réponse à cette question tu deviendras riche et célèbre".

[Sylviel]

Je pense que la surjection de N vers Q (en faisant un escargot) est tout de même intéressante et parfaitement compréhensible. Et on peut montrer que [0,1] est non dénombrable (par diagonale de cantor) de manière parfaitement compréhensible pour des 4èmes amha.

[JoCa]

Well, first, merci à vous deux!

Beaux points de vue d'explication, que j'ai moi-même compris, j'en déduis que ma classe comprendra elle-aussi!
Nous avions noté un développement, mais nous n'avons pas trop bien compris ce que ça démontrait, le voici:

"Prenons N et Q. Notre intuition nous dit qu'il y a plus d'éléments dans Q que dans N, vu qu'entre chaque fraction, il y en toujours une autre, mais entre deux entiers {3;4} par exemple, il n'y a pas d'autres entiers.

Mais, rangeons les fractions selon ce critère: par ordre croissant selon la somme du numérateur + le dénominateur. De cette façon, toutes les fractions sont consignées.

Cela donne:

Somme = 2 : 1 seule fraction possible : 1/1
Somme = 3 : 2 fractions possibles : 1/2 ; 2/1
Somme = 4 : 3 fractions possibles : 1/3 ; 2/2 ; 3/1
etc...

Donnons ensuite un numéro à ces fraction, suivant l'ordre ci-dessus:
La première est 1/1; la seconde est 1/2; la troisième est 2/1; la quatrième est 1/3;...

Nous voyons ici qu'il existe un numéro pour chaque fraction, il y a donc autant d'entiers que de fractions! Nous avons établi une bijection entre Q et N."

Cela prouve-t-il que notre intuition et l'infini sont des choses qui ne font pas bon ménage? :hein:

Quelques questions:

Et si un petit malin demande s'il y a un infini intermédiaire entre celui des entiers et celui des réels, regardez le fixement dans les yeux et dites... "si tu trouves un jour la réponse à cette question tu deviendras riche et célèbre".

Puis-je en conclure que l'ensemble des entiers est plus petit que celui des réels? que N<R?

C'est ce que pensait Cantor... jusqu'à prouver le contraire! Il y a "autant" de points dans un plan que dans une droite. Décidément l'infini et notre intuition ça fait deux.

Nous avons cherché ardemment cette démonstration (qu'il y a autant de points dans une droite que dans un plan) mais nous ne l'avons point trouvé... Un lien, un livre, une idée? Nous nous doutons qu'elle doit être d'un niveau que je n'ose pas imaginer mais j'aimerais la leur expliquer dans les grandes lignes :ptdr:

Nous avons vu que ça correspondait à une bijection entre R et RxR:

"Il faut prendre x et y dans ]0;1[, et on construit z dans ]0;1[ en prenant une décimale de x puis une décimale de y et etc ad vitam eternam..
Donc ça donne, pour x = 0,33333.... et y = 0,44444...., z = 0,343434......"

Merci beaucoup!

[vincentroumezy]

Puis-je en conclure que l'ensemble des entiers est plus petit que celui des réels? que N<R?

Oui, et ça se voit bien d'ailleurs, entre 0 et 1 (inclus), on a 2 entiers, et une infinité de réels.
Dit autrement, N est dénombrable, mais pas R.

[Doraki]

Oui, et ça se voit bien d'ailleurs, entre 0 et 1 (inclus), on a 2 entiers, et une infinité de réels.
Dit autrement, N est dénombrable, mais pas R.

entre 2 entiers on a aussi une infinité de rationnels, donc ton "ça se voit bien" est plutôt dangereux.

[vincentroumezy]

Effetivement, c'est maladroit.

[JoCa]

Dit autrement, N est dénombrable, mais pas R.

Donc, la démonstration que j'ai énoncé au-dessus sert à démontrer que Q est dénombrable non (celle où je les ordre par la somme du numérateur et du dénominateur)?

[vincentroumezy]

Oui, c'est vrai.

[beagle]

""Prenons N et Q. Notre intuition nous dit qu'il y a plus d'éléments dans Q que dans N, vu qu'entre chaque fraction, il y en toujours une autre, mais entre deux entiers {3;4} par exemple, il n'y a pas d'autres entiers.

Mais, rangeons les fractions selon ce critère: par ordre croissant selon la somme du numérateur + le dénominateur. De cette façon, toutes les fractions sont consignées.

Cela donne:

Somme = 2 : 1 seule fraction possible : 1/1
Somme = 3 : 2 fractions possibles : 1/2 ; 2/1
Somme = 4 : 3 fractions possibles : 1/3 ; 2/2 ; 3/1
etc...

Donnons ensuite un numéro à ces fraction, suivant l'ordre ci-dessus:
La première est 1/1; la seconde est 1/2; la troisième est 2/1; la quatrième est 1/3;...

Nous voyons ici qu'il existe un numéro pour chaque fraction, il y a donc autant d'entiers que de fractions! Nous avons établi une bijection entre Q et N."

Cela prouve-t-il que notre intuition et l'infini sont des choses qui ne font pas bon ménage? "


.................................................................

Oui et non, l'intuition va nous tromper, oui.
Et pourtant l'intuition dans cet exemple n'a pas tort.
Il y AUSSI plus de fractions que d'entiers.
le problème est ce AUSSI qui n'invalide donc pas l'intuition.


Ce qui est troublant avec l'infini, c'est que l'ensemble A peut avoir plus d'éléments que l'ensemble B, alors que B a AUSSI plus d'éléments que l'ensemble A, bref ils ont au final le mème nombre d'éléments, c'est le mème infini.
Mais il existe une surjection de A vers B et il existe AUSSI une surjection de B vers A.
A possède deux fois plus d'éléments (en terme à terme) que B, alors que B a 3 fois plus d'éléments (en terme à terme) que A.
Et c'est plutot cela qui est troublant par rapport à notre perception habituelle de la cardinalité dans le monde fini.

[st00pid_n00b]

Je pense que la surjection de N vers Q (en faisant un escargot) est tout de même intéressante et parfaitement compréhensible. Et on peut montrer que [0,1] est non dénombrable (par diagonale de cantor) de manière parfaitement compréhensible pour des 4èmes amha.

Bonsoir,
Je ne sais pas quelle est ton expérience avec les collégiens, mais un élève de 4ème commence à peine le calcul littéral, n'a aucune notion de ce qu'est une fonction, bref les maths c'est calculer avec des nombres et un peu de géométrie.

Déjà, passer du temps à montrer ce qu'est une bijection sur des ensembles finis me semble indispensable. Et aborder doucement la notion d'infini en montrant qu'il y a autant de nombres pairs que d'entiers est déjà un grand pas. Pour anecdote, j'ai eu beaucoup de mal à convaincre un ami de cela récemment, et il a fait des études supérieures dans un domaine scientifique (audiovisuel). Voyant que la suite des nombres pairs augmentait plus vite il avait l'impression qu'on trichait, ça ne marche que si on va jusqu'à l'infini, mais l'infini n'existe "pas vraiment". En d'autres termes, mets toi à la place de quelqu'un pour qui ce n'est pas du tout intuitif. Le but de mes suggestions est que la majorité de la classe comprenne, pas seulement les bons en maths qui ont un esprit d'abstraction.

L'escargot de la surjection de N vers Q m'a fasciné quand je l'ai appris et me fascine toujours. Mais je maintiens que c'est trop compliqué, d'autant qu'il faut expliquer qu'on a aussi une injection de N dans Q ce qui implique une bijection. Ou alors, il faut construire directement une bijection en escargot en éliminant au fur et à mesure les fractions non simplifiées.

Quant à la diagonalisation de Cantor, il y a peu de prérequis mais ça demande un raisonnement par l'absurde, et à moins de trouver un élève vraiment surdoué je suis convaincu que ça va bien au delà de la capacité d'abstraction d'un élève de 4ème.

Cela dit, si tu as des histoires à partager qui montrent que j'ai tort, je les lirais avec plaisir

[ffpower]

Je suis dac avec le noob, faut pas trop brusquer le truc non plus.

Sinon, j'ai un vieux science et vie, qui date du college justement, ou l'infini était vulgarisé et que j'avais trouvé plutôt intéressant. Il parlait notamment d'un "hotel de l'infini", qui a une infinité de chambres, numérotées par les entiers: l'hotel est complet, un client arrive, comment ils s'organisent? Ils demandent à tous les locataires de se déplacer d'une chambre (locataire de la chambre n va à la chambre n+1), ce qui permet de libérer une chambre..
Puis idem avec un bus avec une infinité de clients qui arrive, ils font de la place par la bij n<->2n

Y'avait aussi un point de vue géométrique du même phénomène, ou ils mettaient en bijection un demi cercle avec un segment (le diamétre, par projection ortho), puis ce même demi cercle avec une droite (en regardant les points de séquences de cette droite et les droites passant par le centre)

Me souviens plus trop ce qu'il y avait d'autre c'est vieux, mais y a moyen que je retrouve le mag..

[st00pid_n00b]

Well, first, merci à vous deux!

Beaux points de vue d'explication, que j'ai moi-même compris, j'en déduis que ma classe comprendra elle-aussi!

Pas de quoi Tu es donc toi même élève de 4ème? Et tu dois faire un exposé?

Nous avions noté un développement, mais nous n'avons pas trop bien compris ce que ça démontrait, le voici:

"Prenons N et Q. Notre intuition nous dit qu'il y a plus d'éléments dans Q que dans N, vu qu'entre chaque fraction, il y en toujours une autre, mais entre deux entiers {3;4} par exemple, il n'y a pas d'autres entiers.

Mais, rangeons les fractions selon ce critère: par ordre croissant selon la somme du numérateur + le dénominateur. De cette façon, toutes les fractions sont consignées.

Cela donne:

Somme = 2 : 1 seule fraction possible : 1/1
Somme = 3 : 2 fractions possibles : 1/2 ; 2/1
Somme = 4 : 3 fractions possibles : 1/3 ; 2/2 ; 3/1
etc...

Donnons ensuite un numéro à ces fraction, suivant l'ordre ci-dessus:
La première est 1/1; la seconde est 1/2; la troisième est 2/1; la quatrième est 1/3;...

Nous voyons ici qu'il existe un numéro pour chaque fraction, il y a donc autant d'entiers que de fractions! Nous avons établi une bijection entre Q et N."

Presque... il te reste à éliminer les doublons car la fraction n°1 1/1 est la même que la n°5 2/2. En éliminant les doublons au fur et à mesure, tu as bien une bijection entre Q+ (rationnels positifs) et N.

Et si un petit malin demande s'il y a un infini intermédiaire entre celui des entiers et celui des réels, regardez le fixement dans les yeux et dites... "si tu trouves un jour la réponse à cette question tu deviendras riche et célèbre".

Puis-je en conclure que l'ensemble des entiers est plus petit que celui des réels? que N<R?

Oui, N<R, c'est ce que j'écrivais à propos des entiers et des points d'une droite (ce qui équivaut aux réels).
La phrase que tu cites est la question de l'existence d'un ensemble E tel que N<E<R. La réponse, pour simplifier, c'est qu'on ne peut pas vraiment le savoir.

Nous avons vu que ça correspondait à une bijection entre R et RxR:

"Il faut prendre x et y dans ]0;1[, et on construit z dans ]0;1[ en prenant une décimale de x puis une décimale de y et etc ad vitam eternam..
Donc ça donne, pour x = 0,33333.... et y = 0,44444...., z = 0,343434......"
Merci beaucoup!

Oui, ça montre une espèce de bijection entre l'intervalle ]0;1[ et le carré de côté 1 ]0;1[x]0;1[.
Je dis une "espèce" car il y a le problème des nombres à double représentation: 0.1999999..... = 0.2000000....
Et il faut ensuite se convaincre qu'il y a autant de points dans ]0;1[ que dans R, et autant de points dans ]0;1[x]0;1[ que dans RxR.

[st00pid_n00b]

Sinon, j'ai un vieux science et vie, qui date du college justement, ou l'infini était vulgarisé et que j'avais trouvé plutôt intéressant. Il parlait notamment d'un "hotel de l'infini", qui a une infinité de chambres, numérotées par les entiers: l'hotel est complet, un client arrive, comment ils s'organisent? Ils demandent à tous les locataires de se déplacer d'une chambre (locataire de la chambre n va à la chambre n+1), ce qui permet de libérer une chambre.

C'est l'Hôtel de Hilbert. C'est vrai que c'est une bonne idée de commencer par ça, pour montrer que l'infini + 1 = l'infini.

[JackeOLanterne]

... il y a peu de prérequis mais ça demande un raisonnement par l'absurde, et à moins de trouver un élève vraiment surdoué je suis convaincu que ça va bien au delà de la capacité d'abstraction d'un élève ...

Cela dit, si tu as des histoires à partager qui montrent que j'ai tort, je les lirais avec plaisir

Considère un damier (ou un jeu de Puissance 4 ou un jeu d'échecs) de taille très grande (à illimitée...). Chaque case représente un élément de Q donné par le couple (x,y) où x est le numéro de la ligne et y celui de la colonne. Attribue un numéro de rang, unique, à chaque case, en suivant les diagonales dans un sens fixé : la bijection se matérialise alors visuellement. Ce topo simple s'avère fortement intuitif ! :zen:

[ffpower]

Ya toujours le problème de non injectivité (2/3=4/6 par ex)

[beagle]

Ya toujours le problème de non injectivité (2/3=4/6 par ex)

y a-t-il bijection de A vers B lorsque double surjectivité de A vers B et de B vers A pour l'infini?
= la non injectivité est-elle un problème dans les ensembles infinis?

[JackeOLanterne]

P.S: On saute (ignore) les cases quand x et y ne sont pas premiers entre eux : elles ne comptent pas! :we:

[beagle]

y a-t-il bijection de A vers B lorsque double surjectivité de A vers B et de B vers A pour l'infini?
= la non injectivité est-elle un problème dans les ensembles infinis?

Je repose la question sans heurter par de fausses définitions.
A et B ensembles infinis.
Il s'agit du mème infini car il existe(j'en ai trouvé une) une bijection f de A vers B.

Est-ce équivalent, peut-on utiliser ceci:
Il s'agit du mème infini, car
il existe f surjection de A vers B
ET g surjection de B vers A.

[beagle]

L'autre question qui me gène est de se réfugier UNIQUEMENT dans la bijectivité pour infirmer les autres propositions valables.
Je m'explique.

Paul:
il y a plus d'entiers que de nombres pairs,
donc il ne peut pas y avoir autant de pairs que d'entiers

Pierre:
il y a plus d'entiers que de nombres pairs,
et je ne me prononce pas sur la possibilité d'égalité.

Jacques:
non, il y a autant de nombres entiers que de pairs,
il n' y en pas plus,
car il exise une bijection donc corresponce terme à terme

Michel:
il y a plus d'entiers que pairs mais il y en a aussi autant, car je sais construire une bijection donc égalité terme à terme,
mais je sais aussi construire sur surjectivité qui pour un terme de pair correspond à deux termes des entiers, je sais construire un dédoublement,...

Claude:
dans un cercle il y a plus de rayons que de diamètres, car je sais construire une sujectivité de 1 diamètre pour deux rayons

Sophie:
dans un cercle il y autant de diamètres que de rayons car je sais construire une bijectivité, une correspondance terme à terme entre les deux

Julie:
je pense comme Claude et comme Sophie

Jean:
j'ai mal au crane maintenant

1)Quels sont les individus qui ont une certaine raison?

2)Pourquoi ne pas montrer AUSSI (en plus de la bijectivité)
que si j' ai A qui possède le double d'éléments que B,
alors B a trois fois plus d'éléments que A aussi.
Cela se montre géométriquement de façon intuitive très facilement pour des élèves de classe primaire, non?