Cantor - Les Infinis

[beagle]

Pour en revenir à des conseils sur l'exposé.

dans cet exposé je lirais la lettre de Cantor à son ami mathématicien,
lettre où Cantor lui demande pince-moi, je rève ou quoi?
Et son ami de lui répondre , j'ai pas l'impression que tu rèves,...
Bref, c'est à lire, car fabuleux moment d'histoire des sciences, de ce qui se passe dans la tète d'un type qui fait avancer le schmilblick.

ensuite, je pense comme certains intervenants qu'il faut se baser sur des approches géométriques qui sont extrèmement parlantes an niveau intuition,
et par exemple le dernier truc de Jack est à mi-chemin , c'est la géométrie qui sert de support à la pensée.Et j'aime bien.Mais il y a d'autres trucs simples de géométrie.

[Sylviel]

Pour défendre l'escargot : je ne proposais pas de démontrer qu'il y avait bijection entre N et Q a proprement parler, juste que l'on pouvait donner un numéro à chacun des points de Z² (pas en ces termes là bien sûr), et donc toucher du doigt que N est au moins aussi grand que Z²...

Pour la diagonale : on me l'a expliquée en 4ème justement, et même si tu ne comprends pas tous les mécanismes tu peux te rendre compte qu'il y a une espèce de tour de magie. Il suffit de commencer par le faire avec des nombres à 2, puis 3 puis 4 chiffres après la virgule pour montrer comment tu en fais un différent des précédents.

Globalement je dirais que sur ce type d'exposé il vaut mieux chercher à montrer les merveilles des maths que la rigueur mathématique. Et je pense que ces deux exemples, présentés avec un peu d'entrain, montre des trucs surprenant qui pourront en faire rêver quelques uns. Mais je reconnais que mon objectif est plus de montrer aux gamins qui peuvent y être sensible (et je pense qu'il y en a un certain nombre, même parmis ceux qui ont des difficultés) que les maths c'est marrant, que ça peut être autre chose que résoudre une équation ou tracer un parralélogramme, que d'essayer d'inculquer les bases d'une théorie somme toute peu utile au quotidien à l'ensemble de la classe.

[beagle]

"Globalement je dirais que sur ce type d'exposé il vaut mieux chercher à montrer les merveilles des maths que la rigueur mathématique. "

Entièrement d'accord.
Il ne s'agit pas de montrer les trucs que j'ai raconté et sur lesquels j'ai peut-ètre tort dans la présentation.
Mais perso ce qui me choque, c'est de dire non il n' y a pas double de rayons que de diamètres car il y en a autant.
Non, il n' ya pas plus d'entiers que de pairs car il y en a autant.
Je n'arrive pas à me faire à cette présentation.
Mais je suis peut-ètre dans l'erreur.

C'est le non qui me choque, pas la suite,...

[JackeOLanterne]

C'est le non qui me choque, pas la suite,...

L'approche de l'infini par les ensembles de nombres (...en géomètre) : voilà un article de vulgarisation bien sympa !

Des réels remplacent le vide laissé par les rationnels or ils peuvent être aussi vus en tant que limites des suites...

[st00pid_n00b]

Il semble que je suis dans la minorité à préconiser de rester simple, soit! J'ai plutôt l'habitude d'interagir avec des élèves en difficulté donc je sous estime peut être le niveau.

Pour la diagonale : on me l'a expliquée en 4ème justement, et même si tu ne comprends pas tous les mécanismes tu peux te rendre compte qu'il y a une espèce de tour de magie. Il suffit de commencer par le faire avec des nombres à 2, puis 3 puis 4 chiffres après la virgule pour montrer comment tu en fais un différent des précédents.

Si tu as compris (même vaguement) la non dénombrabilité de R en 4ème, alors bravo, ça me troue le rationnel. Mais en se limitant à 2 ou 3 chiffres après la virgule, l'ensemble est dénombrable donc je ne comprend pas très bien ta méthode...

Globalement je dirais que sur ce type d'exposé il vaut mieux chercher à montrer les merveilles des maths que la rigueur mathématique. Et je pense que ces deux exemples, présentés avec un peu d'entrain, montre des trucs surprenant qui pourront en faire rêver quelques uns.

Je suis entièrement d'accord pour privilégier l'intérêt à la rigueur, et c'est dans cet esprit que j'ai écrit mon premier post dans ce fil. Mais si je peux me permettre une remarque, certaines choses qui te paraissent banales et presque ennuyeuses ne le sont pas forcément pour une personne qui n'a pas ton niveau. Là où il te faut de l'argument diagonal pour obtenir ta dose de rêve, quelqu'un de non familier avec l'infini peut très bien l'obtenir avec l'hôtel de Hilbert cité plus haut (infini = infini + 1).

Maintenant si le public est réceptif je suis tout à fait pour aller plus loin dans l'émerveillement et les mystères de l'infini.

[Zweig]

Petite précision : l'auteur a parlé d'un exposé pour des quatrièmes secondaires, ce qui équivaut chez nous (France) à la Seconde et non la Quatrième :lol3:. Mais ça ne change peut-être pas grand chose de toute façon quant à vos arguments ...

[Zweig]

Quand j'étais au Lycée, j'avais réalisé mon TPE sur l'infini justement, malheureusement je n'ai plus le fichier PDF ... Tu peux trouver un hors-série très bien ficellé (que j'avais utilisé) de Tangente consacré à l'infini : l'infini, hors-série n°13

[Sylviel]

Ok, je détaille comment je le vois (en interactif, j'écris en supposant que vous savez de quoi je parle):

imaginons que l'on a les nombres
0.571
0.462
0.555

je peux en construire un qui soit différent en prenant, pour premier chiffre après la virgule un chiffre différent du premier,
puis pour le second un chiffre différent du second du deuxième nombre etc...
par exemple : 0.676

alors le nombre construit est différent des trois premiers cité.

Je recommence avec 4 chiffres pour montrer que je suis différent des 4 qui sont donnés.

Ensuite on imagine un tableau gigantesque, et on écris tous les nombre qu'il y a entre 0 et 1.
Puis, dans un coin, on construit un nombre tel qu'aucun de ses chiffres ne soit les mêmes que celui de la diagonale. Mais alors celui que j'ai écris dans mon coin, je ne l'ai pas écris sur le tableau ! Pourtant il est bien entre 0 et 1 :mur:

Donc même si on écris une infinité de nombre, on ne pourra pas écrire tous ceux qui sont dans [0,1].

Je ne prétends pas qu'ils auront compris les subtilités mais je pense qu'on peut leur faire toucher du doigt :
- qu'on a beau écrire autant de nombre qu'on veut, on pourra toujours en faire un différent
- et ce nombre est bien dans [0,1]


L'hôtel de Hilbert c'est sympa aussi, mais je le trouve moins convaincant, moins intéressant que la diagonale ou l'équipotence de N et Z par exemple. Enfin, question de goût peut-être, ou d'habitude trop grande.

[st00pid_n00b]

Ah ok, si ce sont des élèves de niveau seconde ça change tout! :ptdr:

En supposant que le programme québecois ressemble au programme français, ils connaissent les fonctions, peuvent comprendre facilement ce qu'est une bijection, utilisent déjà l'infini dans l'écriture d'intervalles. Donc ouvrons les vannes et balançons les bizarreries de l'infini! :)

On peut même achever les démonstrations évoquées plus haut en montrant une bijection entre ]0;1[ et R avec une fonction type tangente.

Sylviel: ok je n'avais pas compris que tu te limitais à n nombres avec n chiffres, merci de ta réponse.

[vincentroumezy]

Pas vraiment. En seconde, on connaît au plus 3,4 types de fonctions, et pas les bijections.

[beagle]

oui, mais pas besoin de la définition de bijection pour savoir ce qu'est la bijection,
puisque la bijection est enseignée dès la maternelle,
par la très simple correspondance terme à terme,
c'est la base de l'apprentissage de la cardinalité.

J'ai trois éléments je fais trois flèches qui partent chacune d'un élément qui vont vers un autre ensemble,
si pour cet autre ensemble chaque élément reçoit une flèche , c'est que cet ensemble a aussi trois éléments.

Bref, c'est plus compliqué à expliquer avec des mots,
deux patates, de la patate A part de chaque élément une seule flèche,
et ces flèches arrivent une et une seule sur tous les éléments de la patate B,
alors A et B ont le mème nombre d'éléments, mème cardinalité.
that's enough for bijection.