Calcul de e

[stummel]

Bonjour à tous,

Par définition e est défini comme étant le nombre tel que :

(viens de la dérivation de )

La question est, comment passer de manière rigoureuse à l'égalité suivante :


ou encore :


Merci pour vos réponses.

[mathelot]

Bonsoir,
on va préciser les liens qui existent entre le nombre e et la fonction exponentielle exp():

la fonction exponentielle peut être définie par sa série entière:




Elle vérifie exp(x+y)=exp(x).exp(y) pour tous réels x et y.

avec la notation d'Euler:



Avec cette notation, représente l'image du réel x par la fonction exponentielle.
Le nombre réel e n'apparait pas dans cette formule.

On définit le nombre e par la somme infinie:



Pour x entier naturel , entier relatif , fraction , on a

(*)
l'image de x par la fonction exponentielle est également le nombre élevé à la puissance x.

exemple:

Le génie d'Euler est d'avoir prolongé la notation (*) aux réels irrationnels.
on a donc pour x irrationnel, x étant la limite d'une suite de rationnels notée :
si

Le développement en série entière (DSE) de la fonction exponentielle définit la fonction
sur l'ensemble des complexes par:



On peut oublier tout cela et définir l'exponentielle par


Dans ce cas, on étudie les propriétés des fonctions polynômes

[stummel]

Bonsoir,

Merci pour cette réponse qui apporte certains éclaircissements mais qui ne répond pas à ma question ; peut-être l'ai-je mal posé. Je vais donc retenter autrement :
Si je considère un réel que l'on va considérer positif (pour éviter de se poser trop de questions) et une fonction .

La dérivée de cette fonction s'écrit, par définition de la dérivée :
.

D'une manière générale on voit que la dérivée de f est f multipliée par une constante (la limite), dépendant de :

Le nombre est alors le nombre tel que cette constante soit égale à 1, ce qui s'écrit :



Si je faisais une résolution "à la physicienne", j'écrirais successivement :





et finalement :

ou encore :


Mais je me dis qu'avec les limites il faut tout de même respecter une certaine rigueur, et c'était tout le but de ma question : formaliser correctement cette suite d'opérations.

[mathelot]

Bonsoir,

Merci pour cette réponse qui apporte certains éclaircissements mais qui ne répond pas à ma question ; peut-être l'ai-je mal posé. Je vais donc retenter autrement :
Si je considère un réel que l'on va considérer positif (pour éviter de se poser trop de questions) et une fonction .

La dérivée de cette fonction s'écrit, par définition de la dérivée :
.

D'une manière générale on voit que la dérivée de f est f multipliée par une constante (la limite), dépendant de :

avec c(a)=ln(a)

on a la relation : pour x réel et a>0

Le nombre est alors le nombre tel que cette constante soit égale à 1, ce qui s'écrit :

[comme je te l'expliquais , il n'y a pas de nombre e dans l'expression ci-dessus]

ou encore :

quand on change a par e, on change de fonction, on passe de a^x à e^x. C'est une opération que je ne fais
jamais. j'utilise plutôt la définition:

Quand je vois , j'interprète ceci par est l'image de x par la fonction exponentielle (et il n'y a pas de nombre e), soit .
Maintenant si , alors on peut comprendre est le nombre réel élevé à la puissance .

[stummel]

Non je ne change pas la fonction. est le particulier qui est tel que la limite tende vers 1. utiliser le fait que présuppose que tu connaisses l'existence et la valeur de .

Pour tout dire, j'essaye de retracer les liens entre les différentes notions.
Encore une fois, ce qui m'intéresse ici avant tout c'est de mettre un peu de rigueur dans les opérations sur les limites.

Dans ta première réponse tu dis bien que :

On peut oublier tout cela et définir l'exponentielle par :


Ce qui m'intéresse ici c'est comment on arrive à cette relation

[mathelot]

Le plus simple pour ne pas faire d'erreur est de penser

Non je ne change pas la fonction. est le particulier qui est tel que la limite tende vers 1. utiliser le fait que présuppose que tu connaisses l'existence et la valeur de .
non
Pour tout dire, j'essaye de retracer les liens entre les différentes notions.
Encore une fois, ce qui m'intéresse ici avant tout c'est de mettre un peu de rigueur dans les opérations sur les limites.

Lire :

[mathelot]

Posons

[mathelot]

est-ce que tu connais le logarithme (népérien) ?

[stummel]

Oui merci je connais bien.
Encore une fois je ne m'intéresse pas à la fonction exp(x) mais à la valeur de e ( 2,71828...)
La définition de e est :


Ma question est donc : comment en est-on arrivé à poser cette définition ?
Ou dit autrement avec les premiers éléments donnés dans les messages précédents : comment prouver l'équivalence entre les deux équations suivantes :



C'est tout ce que je cherche...

[mathelot]

Oui merci je connais bien.
Encore une fois je ne m'intéresse pas à la fonction exp() mais à la valeur de e ( 2,71828...)
La définition de e est :


Ma question est donc : comment en est-on arrivé à poser cette définition ?

1ère méthode dûe à Euler

on considère l'équation différentielle (problème de Cauchy) :

soit X un réel strictement positif : X>0
soit n un entier naturel non nul.
On pose . h est le pas de l'itération, la méthode que l'on expose
est une méthode à un pas, il existe des méthodes à plusieurs pas.

On cherche une solution approchée de l'équation différentielle:
on pose
on définit (approximation affine de y sur l'intervalle [0,h]
car
on définit (approximation affine de y sur l'intervalle [h,2h]


par récurrence, au bout de n pas, on obtient:

or
d'où


On a donc construit une solution approchée de l'équa différentielle.
Au point d'abscisse x, cette solution approchée vaut
Quand n tend vers , on obtient

2ème méthode avec le logarithme népérien:
On pose pour x>0 ,
on prend le logarithme de chaque membre de l'égalité:
quand n tend vers l'infini
d'où

je crois historiquement que Néper a inventé les logarithmes, Euler a défini la fonction exponentielle,
par son DSE et/ou comme solution d'une équa diff, et ensuite, on a fait le lien entre les deux fonctions,
log() et exp().

[mathelot]

Le nombre e vérifie

i) e est irrationnel (n'est pas une fraction)
la démo est du niveau Terminale
ii) e est transcendant (est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients dans )
la démo est du niveau Bac+3
iii) il vérifie de nombreuses formules dont celle-ci, dûe à S.Ramanujan qui lie
les trois nombres :