Calcul de Polygone spécifique

[JF6]

Bonjour,

Je souhaite établir un polygone à 6, 7 ou 8 cotés qui aurait la particularité d'avoir chacun de ses cotés à une "distance" précise d'un point qu'on pourrait appeler "centre". J'en ai réalisé un empiriquement à 6 cotés, avec les cotés situés respectivement à 35, 45, 55, 65, 75, et 85 mm du centre (voir photo, il s'agit en fait d'une "came" un peu spéciale).
Comment puis je passer à 7 ou 8 cotés?
Pour une meilleure stabilité, l'idéal serait d'avoir la projection du centre plus ou moins au milieu du coté... et les cotés d'une longueur plus ou moins équivalente...

Merci pour vos lumières!
JF

[fatal_error]

salut,

une pseudo piste parce que j'ai pas le courage d'aller au bout, donc je sais pas si on aboutit. Je pense que oui, mais mon instinct se trompe aussi souvent que la météo...

J'essaie de placer le centre X de façon a ce que les distances des cotés à X soient le plus équivalentes possibles.

posons les cotés du polygone.
posons notre centre X.
On est dans un repère 2D.
On s'intéresse juste au côté a.
Celui ci est mené par une droite dequation

La distance de X au coté a est donnée par
Nous on veut les distances les plus similaires possibles. Donc on va chercher a minimiser la variance des distances.

On a donc
où représente la moyenne des distance (en fonction de X)
au facteur 7 pres....
on obtient un truc en termes de second degrés.
On peut chercher le X qui minimise avec une methode d'optimisation quadratique que j'ai pas (encore) compris mais que jsais quca existe.

On en profite pour éventuellement poser des contraintes du style :
le projeté de X sur la droite qui mene le coté doit etre sur le coté. (jor l'intersection est faite sur le coté et pas sur son prolongement). Ca ca donne des inéquations de premier degrés donc c'est bon.

edit : chui a coté : j'ai cru qu'on avait le polygone et qu'on cherchait le centre.
En fait, on a les distances et le centre, et on cherche le polygone

[fatal_error]

jreviens à la charge :hum:
Toujours avec notre centre X. Nous allons dire que cette fois, c'est le centre, repéré par (0,0).

On prends les hauteurs h_a,...,h_f, qui sont les distances des segments qui partent de X et sont perpendiculaires aux cotés (resp) a,...f.
On s'intéresse qu'au côté a.
On peut exprimer lexpression de la droite qui mene a en fonction de h_a et un angle que nous nommons theta_a. On nomme cette droite (d_a)
Comme c'est un polygone, nous avons une intersection entre (d_a) et (d_b) que nous pouvons exprimer en fonction de h_a,h_b, theta_a et theta_b

Au final, en joingnant deux droites en un point commun a chaque fois, on obtient un systeme dequation.
Si le polygone a 6 coté : on a 6 angle, 6 points d'intersections, donc si equations a 6 inconnues.

Voila comment determiner lequation de (d_a)en fonction de y et x (au lieu de r et theta)

Bon,...,
le truc bleu c'est le coté a.
On a tracé [XH] avec XH= h_a, et H projeté orthogonal de (XH) sur (d_a)
Le but c'est de trouver y_a = ax_a+b, qui satisfait l'angle theta_a et r.
le coeff a est donné par theta_a.
Pour determiner le coeff b on peut chercher lordonnee a lorigine :
On determine X'X:


Pour le ptit bout manquant, (jor l'intersection de (XX') avec (d_a) que jnomme X") X'X", on peut calculer X'H puis rebelotte.

d'ou


Soit
Bon, sauf erreur, bien sûr...