Calcul des prédicats

[xGiAx]

Bonjour, je suis bloquée sur la proposition :

∃ x ∈ ℝ, ∀ y ∈ ℝ, y=x-2

la seule explication que je trouve c'est : "la proposition est fausse car, sinon tous les réels seraient égaux au même nombre x-1."
Mais j'avoue que je ne comprend pas vraiment ... Est ce que quelqu'un voudrait bien me l'expliquer d'une autre façon svp, ça serait super

[lyceen95]

Si je lis à voix haute la proposition, elle dit qu'il y a un nombre (magique) , tel que tous les réels sont tous égaux à . Une espèce d'aspirateur à nombres.
Cette proposition est effectivement fausse.

[catamat]

Bonjour

Il est peut être plus facile de voir que sa négation est vraie :

[xGiAx]

Ok, je vois un peu près mais je pense avoir un blocage sur un truc, qui fait que je n'arrive pas à comprendre...
Quand on a : "∃ x ∈ R, ∀ y ∈ R ..." Est ce que ça veut dire que qu'il existe un réel x pour toutes les valeurs que prendra y, ou est ce que ça signifie qu'il existe au mois un x pour chaque y ? Je ne sais pas si c'est claire ...

[xGiAx]

Si je lis à voix haute la proposition, elle dit qu'il y a un nombre (magique) , tel que tous les réels sont tous égaux à . Une espèce d'aspirateur à nombres.
Cette proposition est effectivement fausse.

Merci de ta réponse, mais du coup j'ai un autre blocage ...

[xGiAx]

Bonjour

Il est peut être plus facile de voir que sa négation est vraie :

Merci, mais comme je l'ai dis dans un autre message, je crois que c'est finalement la façon dont je tourne la phrase qui me pose problème.

[catamat]

Ok, je vois un peu près mais je pense avoir un blocage sur un truc, qui fait que je n'arrive pas à comprendre...
Quand on a : "∃ x ∈ R, ∀ y ∈ R ..." Est ce que ça veut dire que qu'il existe un réel x pour toutes les valeurs que prendra y, ou est ce que ça signifie qu'il existe au mois un x pour chaque y ? Je ne sais pas si c'est claire ...

C'est la première c'est à dire qu'il faut trouver au moins un réel x
(on choisit le x sans connaître pour le moment y)
et ensuite pour n'importe quel réel y on doit avoir y=x-2

Comme x-2 a déjà été fixé quand on a choisit x, ce nombre là ne peut pas prendre n'importe quelle valeur dans R donc c'est faux.

[xGiAx]

Ok, je vois un peu près mais je pense avoir un blocage sur un truc, qui fait que je n'arrive pas à comprendre...
Quand on a : "∃ x ∈ R, ∀ y ∈ R ..." Est ce que ça veut dire que qu'il existe un réel x pour toutes les valeurs que prendra y, ou est ce que ça signifie qu'il existe au mois un x pour chaque y ? Je ne sais pas si c'est claire ...

C'est la première c'est à dire qu'il faut trouver au moins un réel x
(on choisit le x sans connaître pour le moment y)
et ensuite pour n'importe quel réel y on doit avoir y=x-2

Comme x-2 a déjà été fixé quand on a choisit x, ce nombre là ne peut pas prendre n'importe quelle valeur dans R donc c'est faux.

Merci ! Mais du coup si je prend 3 par exemple, il faudrait que 3 marche pour tous les y, c'est ça ou non ?
Et par contre je bloque toujours après, est ce que ça serait possible de démontrer avec des chiffres ou pas dut tout ? Où sinon qu'avec des phrases ?

[catamat]

Oui c'est bien cela.

Pour le démontrer il suffit de démontrer que la négation est vraie (voir mon premier post)

C'est à dire on choisit un réel x quelconque et on justifie que l'on peut trouver au moins un réel y différent de x-2 :
Ce réel peut être x lui même ou x+1 etc ... on a en fait une infinité de réels qui son différents de x-2

[catamat]

De plus l'ordre des quantificateurs est très important c'est peut être ce qui te posait problème)

Si on avait (en inversant)

∀ y ∈ ℝ,∃ x ∈ ℝ, y=x-2

Là c'est vrai, en effet choisissons un réel y quelconque on peut trouver un réel x tel que y=x-2 c'est tout simplement le réel y+2

[hdci]

Bonjour,
On peut trouver un "exemple" pour lequel ue telle hrase fonctionne, cela aidera peyut-être à comprendre : si j'écris


Cette phrase est vraie : il existe bien un réel tel que le produit de avec n'importe quel autre réel est égal à zéro ; ce réel est .

L'ordre des quantificateurs dit que le ("il existe un réel tel que...") est indépendant de tous les , c'est le même x pour tous les .

[xGiAx]

Oui c'est bien cela.

Pour le démontrer il suffit de démontrer que la négation est vraie (voir mon premier post)

C'est à dire on choisit un réel x quelconque et on justifie que l'on peut trouver au moins un réel y différent de x-2 :
Ce réel peut être x lui même ou x+1 etc ... on a en fait une infinité de réels qui son différents de x-2

Ok super merci, je crois que je commence à comprendre, on est d'accord que le y dépendra du x pour ce cas là. Donc comme on choisi le x en premier, on remarquera par exemple que 15 - 2 donnera la valeur de 13 pour y mais si on avait pour autre valeur de y comme 12 par exemple, le 15 ne marcherait pas. Donc il n'existe pas une valeur de x pour tous les y dans le cas y = x-2. Par contre si l'on avait dis :
∃ y (appartenant à R), ∀ x (appartenant à R), y = x-2 je suppose que ça marcherait, car dans ce cas là c'est x qui dépend de y. Est ce que c'est ça ?

[xGiAx]

De plus l'ordre des quantificateurs est très important c'est peut être ce qui te posait problème)

Si on avait (en inversant)

∀ y ∈ ℝ,∃ x ∈ ℝ, y=x-2

Là c'est vrai, en effet choisissons un réel y quelconque on peut trouver un réel x tel que y=x-2 c'est tout simplement le réel y+2

Ah oui ok je vois, donc je me suis peut-être trompé dans le raisonnement d'avant. J'avoue que l'ordre des quantificateur est super important donc quand on essaie de le remettre en phrase c'est assez tordu.

[xGiAx]

Bonjour,
On peut trouver un "exemple" pour lequel ue telle hrase fonctionne, cela aidera peyut-être à comprendre : si j'écris


Cette phrase est vraie : il existe bien un réel tel que le produit de avec n'importe quel autre réel est égal à zéro ; ce réel est .

L'ordre des quantificateurs dit que le ("il existe un réel tel que...") est indépendant de tous les , c'est le même x pour tous les .

Merci, j'ai bien compris ce que tu as dis