Boules Urne et Jeu

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Bonjour,
1) Le jeu avec 2 joueurs:
On a 2 joueurs A et B. On met a boules de type "A" dans une urne et b boules de type "B" . Le premier joueur à jouer est A, il tire au hasard une boule de l'urne, si c'est une boule de type "A" il a gagné et la partie s'arrête, sinon le joueur B tire à son tour une boule et si c'est une boule de type "B" c'est lui qui à gagné, sinon la partie est nulle. On cherche à savoir combien de boules a et b il faut mettre dans l'urne pour que la partie soit équitable dans les 2 cas suivants (avec remise ou sans remise).
- Avec remise (quand A remet la boule qu'il a tirée dans l'urne): on ne peut pas trouver de nombre a et b tel que la partie soit équitable.
- Sans remise (A garde la boule qu'il a tirée): on peut trouver une infinité de couples de nombres (a,b) tel que la partie soit équitable. Exemples (1,2) (6,10) (40,65) ...
2) Le jeu avec 3 joueurs:
On a 3 joueurs A, B et C qui jouent dans cet ordre avec 3 types de boules "A", "B" et "C" dans l'urne et la même règle (si A tire une boule "A" il a gagné et la partie s'arrête, sinon c'est à B de jouer et si il tire une boule "B" il a gagné sinon ...). On cherche maintenant les triplets (a,b,c) de nombre de boules à mettre dans l'urne pour que la partie soit équitable pour les 3 joueurs.
- Avec remise (A et B s'ils n'ont pas gagné doivent remettre la boule tirée dans l'urne): on ne peut pas trouver de triplet (a,b,c) pour que la partie soit équitable.
- Sans remise (A et B gardent les boules qu'ils ont tirées): je pense alors qu'on ne peut pas trouver de triplet (a,b,c) pour que la partie soit équitable. Est-ce-qu'il y a une démonstration pour ce cas?

[Ben314]

Salut,
Après quelques calculs, il me semble qu'effectivement le jeu ne peut pas être équitable dans las cas "avec remise", que ce soit à 2 ou à 3 joueurs.

Par contre, dans le cas "sans remise" avec 2 joueurs, je ne trouve pas équiprobabilité dans le cas a=6, b=10. Plus précisément, je trouve une proba de 51/104 que A gagne et une proba de 53/104 que B gagne.
J'ai bien l'impression que le seul cas équitable est a=1, b=2...

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Salut,
Après quelques calculs, il me semble qu'effectivement le jeu ne peut pas être équitable dans las cas "avec remise", que ce soit à 2 ou à 3 joueurs.

Par contre, dans le cas "sans remise" avec 2 joueurs, je ne trouve pas équiprobabilité dans le cas a=6, b=10. Plus précisément, je trouve une proba de 51/104 que A gagne et une proba de 53/104 que B gagne.
J'ai bien l'impression que le seul cas équitable est a=1, b=2...

Bonjour Ben314,
Pour le cas a=6 et b=10 je trouve Pa=6/16 = 3/8 et Pb=10/16 x 9/15 = 5/8 x 3/5 = 3/8 et donc Pa = Pb

[Ben314]

Ca me semble plus que louche vu que avec tes valeurs Pa+Pb n'est pas égal à 1 alors que, vu qu'il y a 4 boules B de plus que de A, le match nul est impossible....

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Ca me semble plus que louche vu que avec tes valeurs Pa+Pb n'est pas égal à 1 alors que, vu qu'il y a 4 boules B de plus que de A, le match nul est impossible....

Le match nul n'est pas impossible, il a même 2/8 d'être réalisé si d'abord le joueur A tire une boule "B" puis le joueur B tire une boule "A". On a Pnul = 10/16 x 6/15 = 5/8 x 2/5 = 2/8. On a alors Pa + Pb + Pnul = 1 (je ne comprends pas comment tu arrives à 51/104 pour A et 53/104 pour B car de toute façon Pa + Pb ne peut pas faire 1 car il y a toujours des possibilités que la partie soit nulle. C'est comme un match de foot, soit A gagne, soit B gagne, soit c'est match nul)

[Ben314]

J'ai effectivement lu l'énoncé de travers : je croyais que les deux joueurs piochaient dans l'urne jusqu'à ce qu'un des deux ait tiré la bonne couleur. Dans ce cas, il ne pourrait pas y avoir de match nul s'il y a franchement plus d'une couleur que de l'autre.

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Bonjour,
Je fais la démonstration que pour le jeu avec 3 joueurs et remise des boules tirées on ne peut pas trouver 3 nombres a, b et c dans N* pour que le jeu soit équitable. On pose n=a+b+c et on a a a=2A, b=2B, c=2C, n=2N (avec N=A+B+C).

Les équations s'écrivent alors: == soit ==
C'est une descente infinie puisque A n impair (on note prime les nombres impairs)

Pour la notation, comme a est pair on l'écrit de cette façon , b de cette façon , j'écris n-a qui est impair pour c j'écris et pour n j'écris

on obtient == => impossible. Après réduction les numérateurs des 2 1ère fractions seront pairs alors que celui de la 3ème sera impair

3) a pair, b impair et c pair => n impair. n-b est pair je le note

On obtient == c'est impossible après réduction le numérateur de la 1ère fraction est pair celui de la 2ème impair.

4) a pair, b impair et c impair => n pair

On obtient == pour les fractions 2 et 3 on a: . =. et donc après réduction le nombre de facteur 2 soit au numérateur soit au dénominateur ne pourra pas être le même

5) a impair, b pair, c pair => n impair

On obtient == => impossible. Le numérateur de la 1ère fraction est impair celui des 2 autres est pair

6) a impair, b pair, c impair => n pair
de Pa=Pb on tire = et de Pb=Pc on tire = et avec = on tire = cette équation est de la forme = soit = . => impossible

7) a impair, b impair c pair => n pair

On obtient == soit pour les fractions 1 et 2 on a: .=. => impossible

8) a impair, b impair, c impair => n impair

== => impossible