I=√-1 ... besoin d'une explication concrète.

[Nygatu]

Bonjours, :happy3:

une question me taraude.

Les nombres complexes ont été inventé pour palier les impossibilités des nombres réels. (d'après ce que j'ai compris...) C'est-à-dire, que les nombres réels ont été plongé dans un ensemble plus vaste (C) afin de rendre possible ce qui était impossible dans R.

Ma question est toute bête, pourquoi avoir posé i=;)-1 ? Pourquoi pas une autre impossibilité ? Il y en a-t-il d'autres ? (comme : 1/0)

[Nightmare]

Salut!

"palier les impossibilités des nombres réels" ne veut pas dire grand chose.

Historiquement, on cherchait à résoudre les équations du 3ème degré à coefficients réels par radicaux. Le TVI bien connu à l'époque, enfin surement pas sous un énoncé clair et sous ce nom, les mathématiciens savaient qu'il existait une solution réelle. Bombelli a trouvé une méthode qui, sous réserve de pouvoir définir la racine carrée de -1, aboutissait à cette solution (réelle, je le rappelle). Ainsi, en définissant quelque chose qui a priori n'existe pas, on arrive à un résultat qui lui existe bien et est bien cohérent.

C'est sous cette première approche qu'on a commencé à utiliser les nombres imaginaires (i comme imaginaire). Plus tard bien entendu, les mathématiciens ont formalisé la définition de C, puisqu'on pourrait se dire qu'il n'y a pas de raisons valable à travailler avec quelque chose qui n'existe pas. On a donc donné des significations algébriques et géométriques (toutes équivalentes) concrètes du nombre i et qui bien sûr garde en certain sens le sens de "racine carrée de -1". Par exemple, tu as surement entendu parler de repère du plan et d'affixe. Les complexes y sont représentés comme des points et i comme le vecteur (0,1), c'est une première "définition" (à compléter, mais je t'en donne l'idée) du nombre i.

Edit : Bon en fait, je pense que tu es capable de comprendre la suite de ma définition géométrique : Si tu as travaillé un peu avec les similitudes, tu pourras constater que multiplier par un complexe z un complexe z' revient à appliquer une similitude de centre l'origine, de rapport |z| et d'angle arg(z) au point d'affixe z'. Et si tu appliques au point i=(0,1) la similitude centrée en O de rapport |i|=1 et d'angle arg(i)=pi/2, c'est à dire en fait une rotation de centre O et d'angle pi/2 eh bien tu obtiens le point (-1,0) qui en un certain sens, représente le réel -1. Ainsi, i² = -1