Bonjour,
J'ai un problème qui est en fait beaucoup plus complexe que cela et de l'ordre statistique, mais je vais d'abord le poser sous sa forme la plus simplifiée possible.
Disons que je dispose 9 points en grille carrée 3x3 sur une surface ayant une aire fixe et que je calcule toutes les distances pour chaque paire de points possible (9*8 /2 = 36 paires possibles). Ensuite, je fais la moyenne de ces distances.
Maintenant, je reprends une grille ayant la même aire, mais cette fois je dispose 81 points en grille carrée de 9x9 sur cette même surface ayant une aire fixe. Je calcule encore toutes les distances pour chaque paire de points possibles et j'effectue la moyenne de ces distances.
Que pourriez-vous dire de la relation entre les deux moyennes calculées ?
Mon problème réel en grosso modo est que j'ai plusieurs points disposés aléatoirement uniformément dans une enveloppe 3D. J'ai obtenu tous les temps requis pour se déplacer d'un point à un autre pour chaque paire de points. J'ai calculé la moyenne de ces temps. J'aimerais maintenant avoir une idée de ce qu'il adviendra du temps moyen de déplacement si j'augmente le nombre de points dans cette même enveloppe 3D.
Bref, en simple, il m'a fallu 70 minutes pour tester tous les 3000 déplacements possibles. J'aimerais avoir une idée combien de temps cela pourrait me prendre si je passe à 360 000 déplacements dans cette même enveloppe.
Si vous pouvez juste me confirmer que le temps moyen devrait dimunier, je serais déjà très heureux. Si en plus, vous pouvez de donner une approximation du facteur de réduction, je serais ravi.
Merci,
Éric
Besoin d'aide : problème / défi pour vous
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par C.Ret » 29 Nov 2012, 14:23
Bonjour,
J'ai un peu de mal à bien comprendre de quoi il s'agit.
La surface d'aire fixe est-elle une surface plane ? Les 9 points sont-ils dans le plan de la figure ou est-ce plus compliqué ?
J'ai un peu de mal à bien comprendre de quoi il s'agit.
La surface d'aire fixe est-elle une surface plane ? Les 9 points sont-ils dans le plan de la figure ou est-ce plus compliqué ?
par TheReveller » 29 Nov 2012, 16:50
Dans mon exemple simple, c'est comme si on disposait en grille carrée 9 points (3x3) sur une surface 2D carrée de taille fixe, supposons qu'elle est de taille 24 cm x 24 cm. Alors, les 9 points seront disposés ainsi a chaque 12 cm :
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Bref, de 1 à 2, il y a 12 cm, de 2 à 3, il y a 12 cm, de 1 à 4, il y a 12 cm, etc.
Je calcule les distances pour toutes les paires :
1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 1-7, 1-8, 1-9, 2-3, 2-4, 2-5, etc.
Ensuite, je reprends cette même surface 2D carrée de taille fixe de 24 cm x 24 cm, mais cette fois je dispose 81 points en grille carrée (9x9), bref :
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 ...
19 ...
28 ...
37 ...
45 ...
54 ...
63 ...
72 ...
Et la distance de 1 à 2 est donc 3 cm, 2 à 3 est aussi 3 cm, ..., 1 à 10 est aussi 3 cm, etc.
Je calcule la distance pour toutes les paires possibles, comme précédemment.
Que peut-on dire que la moyenne des distances calculées dans le premier cas versus la moyenne des distances calculées dans le deuxième cas ?
Dans cet exemple, je pose beaucoup de bornes qui permet de le simplifier, mais dans le cas réel, j'aimerais avoir une idée de la relation entre ces moyennes de telle sorte que si on a la moyenne de N points dispersés aléatoirement dans une enveloppe 3D, on pourrait avoir une idée de la moyenne pour M points (M > N) dispersés aléatoirement dans cette même enveloppe 3D. Et mon cas réel est d'autant plus complexe du fait qu'il n'y a pas de distances, mais plutôt des temps, sauf que puisque les points sont dispersés dans l'ensemble de l'enveloppe, moins qu'il y a de points, plus que les temps seront élevés puisqu'ils seront disposés aux limites de l'enveloppe (comme l'exemple des 9 points, la distance minimale est 12 cm, tandis que pour 81 points, la distance minimale est 3 cm, alors que la distance maximale pour les deux cas est la même).
Je ne sais pas si on peut généraliser parce que je sais que mon exemple simple est de la géométrie fixe en 2D, alors que mon cas réel est statistique, mais j'aimerais simplement avoir des hypothèses et suppositions et les approfondir autant que possible.
En fait, ma toute première question est : Est-ce que la moyenne devrait diminuer pour M > N ? Je suppose que oui.
Ma seconde question serait alors : À quel point, quel facteur de réduction approximatif ?
Merci.
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Bref, de 1 à 2, il y a 12 cm, de 2 à 3, il y a 12 cm, de 1 à 4, il y a 12 cm, etc.
Je calcule les distances pour toutes les paires :
1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 1-7, 1-8, 1-9, 2-3, 2-4, 2-5, etc.
Ensuite, je reprends cette même surface 2D carrée de taille fixe de 24 cm x 24 cm, mais cette fois je dispose 81 points en grille carrée (9x9), bref :
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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37 ...
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54 ...
63 ...
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Et la distance de 1 à 2 est donc 3 cm, 2 à 3 est aussi 3 cm, ..., 1 à 10 est aussi 3 cm, etc.
Je calcule la distance pour toutes les paires possibles, comme précédemment.
Que peut-on dire que la moyenne des distances calculées dans le premier cas versus la moyenne des distances calculées dans le deuxième cas ?
Dans cet exemple, je pose beaucoup de bornes qui permet de le simplifier, mais dans le cas réel, j'aimerais avoir une idée de la relation entre ces moyennes de telle sorte que si on a la moyenne de N points dispersés aléatoirement dans une enveloppe 3D, on pourrait avoir une idée de la moyenne pour M points (M > N) dispersés aléatoirement dans cette même enveloppe 3D. Et mon cas réel est d'autant plus complexe du fait qu'il n'y a pas de distances, mais plutôt des temps, sauf que puisque les points sont dispersés dans l'ensemble de l'enveloppe, moins qu'il y a de points, plus que les temps seront élevés puisqu'ils seront disposés aux limites de l'enveloppe (comme l'exemple des 9 points, la distance minimale est 12 cm, tandis que pour 81 points, la distance minimale est 3 cm, alors que la distance maximale pour les deux cas est la même).
Je ne sais pas si on peut généraliser parce que je sais que mon exemple simple est de la géométrie fixe en 2D, alors que mon cas réel est statistique, mais j'aimerais simplement avoir des hypothèses et suppositions et les approfondir autant que possible.
En fait, ma toute première question est : Est-ce que la moyenne devrait diminuer pour M > N ? Je suppose que oui.
Ma seconde question serait alors : À quel point, quel facteur de réduction approximatif ?
Merci.
par TheReveller » 29 Nov 2012, 17:10
Voici l'exemple le plus simple que je peux faire, en 1D.
Je dispose 3 points sur une ligne de 4 unités, puis je dispose 5 points sur une ligne de 4 unités.
Voici les calculs exhaustifs :
1-2-3 = 4
1-2 = 2
1-3 = 4
2-3 = 2
Moyenne = 8/3 = 2.666
3 distances totalisent une valeur de 8
1-2-3-4-5 = 4
1-2 = 1
1-3 = 2
1-4 = 3
1-5 = 4
2-3 = 1
2-4 = 2
2-5 = 3
3-4 = 1
3-5 = 2
4-5 = 1
Moyenne = 20/10 = 2
10 distances totalisent une valeur de 20
Je suis passé de 3 distances à 10 distances et la moyenne est passée de 2.666 à 2. Ma valeur totale est donc plus petite que la relation 10/3 * 8 = 26.666 > 20. Le facteur de réduction est 2/2.666 = 75%.
C'est un cas géométrique, j'aimerais avoir une relation statistique si possible. Dans le cas réel, il n'y a pas de géométrique, mais simplement une dispersion bornée et on ne connait pas les bornes. Ce qu'on connait, c'est la moyenne pour N distances (je connais aussi toutes les distances de ce cas, donc si vous avez besoin de l'écart-type, du min ou du max ou autre) et je voudrais une idée de la moyenne pour M distances où M > N.
Je dispose 3 points sur une ligne de 4 unités, puis je dispose 5 points sur une ligne de 4 unités.
Voici les calculs exhaustifs :
1-2-3 = 4
1-2 = 2
1-3 = 4
2-3 = 2
Moyenne = 8/3 = 2.666
3 distances totalisent une valeur de 8
1-2-3-4-5 = 4
1-2 = 1
1-3 = 2
1-4 = 3
1-5 = 4
2-3 = 1
2-4 = 2
2-5 = 3
3-4 = 1
3-5 = 2
4-5 = 1
Moyenne = 20/10 = 2
10 distances totalisent une valeur de 20
Je suis passé de 3 distances à 10 distances et la moyenne est passée de 2.666 à 2. Ma valeur totale est donc plus petite que la relation 10/3 * 8 = 26.666 > 20. Le facteur de réduction est 2/2.666 = 75%.
C'est un cas géométrique, j'aimerais avoir une relation statistique si possible. Dans le cas réel, il n'y a pas de géométrique, mais simplement une dispersion bornée et on ne connait pas les bornes. Ce qu'on connait, c'est la moyenne pour N distances (je connais aussi toutes les distances de ce cas, donc si vous avez besoin de l'écart-type, du min ou du max ou autre) et je voudrais une idée de la moyenne pour M distances où M > N.
par C.Ret » 29 Nov 2012, 17:49
Merci, c'est bien plus préci ainsi, et donc j'avais bien compris.
On peut dire que les moyennes ainsi obtenues sont proportionnelles à la taille des surfaces.
Donc, on peut se simplifier la vie:
par exemple avec S = 24x24 cm², on a moy24#3 ~ 19.619
Avec une surface S = 1 x 1 cm² , je trouve moy1#3 ~ 0.8174
C'est à dire moy24 = 24 x moy1
Ce qui peut se démontré. Avec les 9 points, on a 36 distances qui entrent en jeu, beaucoup de celle-ci sont identiques.
Si on appèle
la distance horizontale/vertivale entre deux point consécutif )
Dans la moyenne à neuf point intervient :
12 fois,
8 fois
,
8 fois
,
6 fois
2 fois
La moyenne des neuf point est donc
 / 36)
On peut donc factoriser par x :
 / 36)
Or x est proportionel à la taille de la surface , d'où le résultat que je trouve, le moyenne est directement proportionnelle à la taille de la surface.
Il en sera de même dans le cas d'un maillage de 9 x 9. Les moyennes avec ce réseau seront elles aussi directement proportionnelles à la taille de la surface.
Par contre, il faudra tenir d'un plus grand nombre d'élément, car il n'y aura cette fois plus de termes diffèrents.
Avec 3 points par ligne/colone, il y a des terme en x et 2x (distances horizontales et vertcales), mais aussi en \sqr2 et 2\sqr2 pour les diagonales, etc. il y aura en plus des 3x, 4x, etc jusqu'à 8
Ce type de structure est la base de la cristallographie et a donnée lieu aux Réseaux de Bravais avec leur application et leur mathèmatiques particulière.
A chaque maille et géométrie de maille, il va y avoir des coefficients diffèrents pour les distances immédiate (horizontale et verticale), les premiers voisin (ceux atteint par la diagonale ausein d'un même motif élémentaire), les voisins secondaire, ceux vus via la diagonale au travers de deux, trois ou plus de petit carrés...
Pratique, on peut calculer les moyennes / écart type/etc. pour un maillage avec 3 et 9 points (par axes). Ces deux moyennes permettrons de calculer la dimension de la maille mesurée en effectuant les rapport des moyennes observée à ces deux résolutions.
EDIT:
Pour n=9 point par ligne/colone, je trouve moy24#9 = et moy1#9 = 3/8
\bar m = x.\left(
On peut dire que les moyennes ainsi obtenues sont proportionnelles à la taille des surfaces.
Donc, on peut se simplifier la vie:
par exemple avec S = 24x24 cm², on a moy24#3 ~ 19.619
Avec une surface S = 1 x 1 cm² , je trouve moy1#3 ~ 0.8174
C'est à dire moy24 = 24 x moy1
Ce qui peut se démontré. Avec les 9 points, on a 36 distances qui entrent en jeu, beaucoup de celle-ci sont identiques.
Si on appèle
Dans la moyenne à neuf point intervient :
12 fois
8 fois
8 fois
6 fois
2 fois
La moyenne des neuf point est donc
On peut donc factoriser par x :
Or x est proportionel à la taille de la surface , d'où le résultat que je trouve, le moyenne est directement proportionnelle à la taille de la surface.
Il en sera de même dans le cas d'un maillage de 9 x 9. Les moyennes avec ce réseau seront elles aussi directement proportionnelles à la taille de la surface.
Par contre, il faudra tenir d'un plus grand nombre d'élément, car il n'y aura cette fois plus de termes diffèrents.
Avec 3 points par ligne/colone, il y a des terme en x et 2x (distances horizontales et vertcales), mais aussi en \sqr2 et 2\sqr2 pour les diagonales, etc. il y aura en plus des 3x, 4x, etc jusqu'à 8
Ce type de structure est la base de la cristallographie et a donnée lieu aux Réseaux de Bravais avec leur application et leur mathèmatiques particulière.
A chaque maille et géométrie de maille, il va y avoir des coefficients diffèrents pour les distances immédiate (horizontale et verticale), les premiers voisin (ceux atteint par la diagonale ausein d'un même motif élémentaire), les voisins secondaire, ceux vus via la diagonale au travers de deux, trois ou plus de petit carrés...
Pratique, on peut calculer les moyennes / écart type/etc. pour un maillage avec 3 et 9 points (par axes). Ces deux moyennes permettrons de calculer la dimension de la maille mesurée en effectuant les rapport des moyennes observée à ces deux résolutions.
EDIT:
Pour n=9 point par ligne/colone, je trouve moy24#9 = et moy1#9 = 3/8
\bar m = x.\left(
par TheReveller » 29 Nov 2012, 21:47
Merci, c'est très intéressant.
Peut-on faire certaines déductions et suppositions si nous ne connaissons pas la taille de la surface et que les points sont disposés de façon aléatoire uniforme ? Des déductions statistiques d'après les données d'une première observation avec un petit échantillon.
Autrement dit, j'ai pour un petit échantillon de N déplacements ayant des temps observés en pratique pour des déplacements sur X points dispersés globalement dans une enveloppe fixe inconnue et par ces observations, j'aimerais avoir une idée de la moyenne des temps de déplacement pour un grand échantillon de M déplacements (M > N) sur Y points dispersés globalement dans la même enveloppe (Y > X).
Le petit échantillon pourrait nous permettre de déduire statistiquement les bornes de l'enveloppe (temps de déplacement maximaux, écart-type des déplacements, moyenne) qui pourraient être utilisés pour évaluer statistiquement un aperçu de la moyenne probablement des temps de déplacement pour un échantillon de M déplacements.
Bref, je vais tenter d'expliquer le cas réel. J'ai un robot 6 axes (par exemple http://www.eaglesystemsintegration.com/images/6axis.bmp ). Je définis X poses à atteindre. Les poses sont des vecteurs dans l'espace X,Y,Z ayant une orientation W,P,R. Puisque le robot a 6 axes, il est probable que le robot puisse atteindre une même pose de différentes façons (configurations) selon les angles de ses joints. Pour une pose, les principales possibilités de configurations étudiées sont soit 2, 4, 6 ou 8 configurations par pose.
Par exemple, une certaine pose pourrait avoir 2 configurations possibles, une autre pose pourrait avoir 6 configurations possibles, etc.
Par la suite, j'effectue tous les déplacements possibles d'une pose à une autre pour toutes les configurations possibles. Par exemple, si j'ai 5 poses et que le nombre de configurations pour les poses est respectivement [6,8,2,4,6], alors il y a (6+8+2+4+6)^2 - (6^2+8^2+2^2+4^2+6^2) = 520 déplacements possibles à effectuer d'une pose à une autre pour toutes les configurations possibles. Les temps de déplacements devraient être relativement longs puisque les 5 poses sont dispersées aléatoirement de façon uniforme de façon à englober le mieux possible l'enveloppe du robot (l'enveloppe étant les limites de ce que peut atteindre le robot, par exemple http://www.swisstmeeting.ch/swissrobotics/tl_files/images/cahier%20novembre%202010/15.PNG ). J'aimerais maintenant passer par exemple à 20 poses dans cette même enveloppe et connaître combien de temps cela pourrait prendre pour effectuer tous les déplacements (après que le nombre de configurations par pose ait été déterminé afin de connaître le nombre de déplacements à effectuer).
Ma situation actuelle est que j'ai effectué tous les déplacements possibles pour un cas de 10 poses ayant [8,6,6,6,8,2,8,6,4,4] configurations où j'avais 2992 déplacements à effectuer. Cela a pris 67 minutes, soit en moyenne 1.3 secondes par déplacement. J'aimerais maintenant passer à 100 poses. Si j'estime grossièrement qu'il y a en moyenne 6 configurations par pose, alors j'aurai approximativement 356 400 déplacements à effectuer. J'aimerais bien estimer le temps que cela pourrait prendre. J'ose espérer que le temps moyen de déplacement sera moins de 1.3 secondes par déplacement, autrement cela pourrait nécessiter 129 heures.
En ayant plus de poses, il y aura nécessairement des poses plus près les unes des autres et donc le temps de déplacement sera très court pour ces possibilités. Notez cependant qu'il est possible que deux poses soient près, mais que la modification des configurations engendre un temps de déplacement relativement élevé dû à un grande modification des angles des axes.
Merci.
Peut-on faire certaines déductions et suppositions si nous ne connaissons pas la taille de la surface et que les points sont disposés de façon aléatoire uniforme ? Des déductions statistiques d'après les données d'une première observation avec un petit échantillon.
Autrement dit, j'ai pour un petit échantillon de N déplacements ayant des temps observés en pratique pour des déplacements sur X points dispersés globalement dans une enveloppe fixe inconnue et par ces observations, j'aimerais avoir une idée de la moyenne des temps de déplacement pour un grand échantillon de M déplacements (M > N) sur Y points dispersés globalement dans la même enveloppe (Y > X).
Le petit échantillon pourrait nous permettre de déduire statistiquement les bornes de l'enveloppe (temps de déplacement maximaux, écart-type des déplacements, moyenne) qui pourraient être utilisés pour évaluer statistiquement un aperçu de la moyenne probablement des temps de déplacement pour un échantillon de M déplacements.
Bref, je vais tenter d'expliquer le cas réel. J'ai un robot 6 axes (par exemple http://www.eaglesystemsintegration.com/images/6axis.bmp ). Je définis X poses à atteindre. Les poses sont des vecteurs dans l'espace X,Y,Z ayant une orientation W,P,R. Puisque le robot a 6 axes, il est probable que le robot puisse atteindre une même pose de différentes façons (configurations) selon les angles de ses joints. Pour une pose, les principales possibilités de configurations étudiées sont soit 2, 4, 6 ou 8 configurations par pose.
Par exemple, une certaine pose pourrait avoir 2 configurations possibles, une autre pose pourrait avoir 6 configurations possibles, etc.
Par la suite, j'effectue tous les déplacements possibles d'une pose à une autre pour toutes les configurations possibles. Par exemple, si j'ai 5 poses et que le nombre de configurations pour les poses est respectivement [6,8,2,4,6], alors il y a (6+8+2+4+6)^2 - (6^2+8^2+2^2+4^2+6^2) = 520 déplacements possibles à effectuer d'une pose à une autre pour toutes les configurations possibles. Les temps de déplacements devraient être relativement longs puisque les 5 poses sont dispersées aléatoirement de façon uniforme de façon à englober le mieux possible l'enveloppe du robot (l'enveloppe étant les limites de ce que peut atteindre le robot, par exemple http://www.swisstmeeting.ch/swissrobotics/tl_files/images/cahier%20novembre%202010/15.PNG ). J'aimerais maintenant passer par exemple à 20 poses dans cette même enveloppe et connaître combien de temps cela pourrait prendre pour effectuer tous les déplacements (après que le nombre de configurations par pose ait été déterminé afin de connaître le nombre de déplacements à effectuer).
Ma situation actuelle est que j'ai effectué tous les déplacements possibles pour un cas de 10 poses ayant [8,6,6,6,8,2,8,6,4,4] configurations où j'avais 2992 déplacements à effectuer. Cela a pris 67 minutes, soit en moyenne 1.3 secondes par déplacement. J'aimerais maintenant passer à 100 poses. Si j'estime grossièrement qu'il y a en moyenne 6 configurations par pose, alors j'aurai approximativement 356 400 déplacements à effectuer. J'aimerais bien estimer le temps que cela pourrait prendre. J'ose espérer que le temps moyen de déplacement sera moins de 1.3 secondes par déplacement, autrement cela pourrait nécessiter 129 heures.
En ayant plus de poses, il y aura nécessairement des poses plus près les unes des autres et donc le temps de déplacement sera très court pour ces possibilités. Notez cependant qu'il est possible que deux poses soient près, mais que la modification des configurations engendre un temps de déplacement relativement élevé dû à un grande modification des angles des axes.
Merci.
par TheReveller » 01 Déc 2012, 23:40
Finalement, toutes mes tentatives de déductions pour mon problème ont échoué.
J'ai fait rouler mon programme et j'ai tout simplement évalué le temps moyen après quelques heures pour m'apercevoir que le cas que je venais de générer nécessitait plutôt un temps moyen de 2 secondes par déplacements. Compte-tenu des 200 000+ déplacements, j'en aurais eu pour 145h.
J'ai réfléchis à un truc tout bête que j'aurais dû penser bien avant qui est pourtant si simple. La taille du robot ne m'importe peu... Alors, j'ai tout simplement pris un robot plus petit et donc les déplacements possibles sont beaucoup plus courts. Idiot! :mur:
En même temps, ce robot est plus contraint et offre moins de polyvalence, ce qui est avantageux dans mon cas, puisque j'ai diminué à 90 000+ déplacements à effectuer au lieu de 200 000+.
Au bout du compte, mon estimé de 145h avec l'autre robot passe à 26h avec ce robot... :zen:
Il reste que la résolution du petit problème tout simple de géométrie pourrait m'être très utile dans d'autres développements et études. Merci.
J'ai fait rouler mon programme et j'ai tout simplement évalué le temps moyen après quelques heures pour m'apercevoir que le cas que je venais de générer nécessitait plutôt un temps moyen de 2 secondes par déplacements. Compte-tenu des 200 000+ déplacements, j'en aurais eu pour 145h.
J'ai réfléchis à un truc tout bête que j'aurais dû penser bien avant qui est pourtant si simple. La taille du robot ne m'importe peu... Alors, j'ai tout simplement pris un robot plus petit et donc les déplacements possibles sont beaucoup plus courts. Idiot! :mur:
En même temps, ce robot est plus contraint et offre moins de polyvalence, ce qui est avantageux dans mon cas, puisque j'ai diminué à 90 000+ déplacements à effectuer au lieu de 200 000+.
Au bout du compte, mon estimé de 145h avec l'autre robot passe à 26h avec ce robot... :zen:
Il reste que la résolution du petit problème tout simple de géométrie pourrait m'être très utile dans d'autres développements et études. Merci.
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