Arithmétique

[Family32]

Bonsoir
Je n’arrive pas à faire mon exercice sur l’arithmétique. Le sujet est le suivant:
Déterminer tous les triplets (a,b,c) d’entiers naturels tels que a^2+b^2= 7c^2
Merci de votre aide
Cordialement

[phyelec]

Bonjour,

solutions évidentes:
a=b=c=0
a= 0 et
b= 0 et

[hdci]

Problème, si l'un des deux au moins n'est pas un entier...

[phyelec]

@hdci, OK c'est vrai, j'avais perdu de vu que a,b,c étaient des entiers.

[Family32]

Donc il n’y a que 1 réponse?

[Vassillia]

Bonjour,
(0,0,0) est en effet l’unique solution mais je présume qu’il est attendu de toi une démonstration.
Tu n’as pas de questions intermédiaires ?
Si ce n’est pas le cas, essaye de raisonner par l’absurde et essaye de t’intéresser à qui doit être divisible par 7 ?

[Family32]

Bonjour
Nan je n’ai pas de questions intermédiaires.
Je suis navrée mais je n’ai pas bien compris ce que je dois faire, il faut que je prouve que a^2+b^2 est divisible par 7 ?

[lyceen95]

2 mots clés : modulo, ou congruence.
Si ces mots ne te parlent pas... tu ne peux pas t'en sortir.
Si ça te parle, c'est le moment pour les utiliser.

[Family32]

Si ça me parle, donc faut il que je fasse a^2+b^2=c^2 modulo 7 ?

[hdci]

Commencez par considérer les modulos 7 de a et de b : déduisez-en l'ensemble des modulos 7 de a² et de b², donc l'ensemble des modulos 7 possibles de a²+b².

Sacahnt que a²+b²=7c², on en déduit les seuls possibilités.

[Family32]

a est congru à b modulo 7 si et seulement si 7 divise a-b
Je suis désolé je suis un peu perdu je sais pas comment m’y prendre sachant qu’on ne connaît pas les valeurs de à, b et c

[hdci]

Je n'ai pas di "a congru à b modulo 7".

Soit a' le reste de la division de a par 7. Quelles sont les valeurs possibles de a' ?
Que peut-on alors dire de a² par rapport à a'² ? Et quelles sont les restes de la division par 7 de a'² ? (il n'y en a pas beaucoup ; pas plus que 7, et en fait un peu moins).

Même chose avec b et b'.

Maintenant, que peut-on dire du reste de la division par 7 de la somme de deux nombres (autrement dit si et , que peut-on dire de a²+b² ?