Approximation en 1/n

[kazeriahm]

Salut à tous,

un résultat pas compliqué mais très joli et aux conséquences intéressantes :

montrer que pour tout réel x, il existe une suite d'élements de {-1,1} telle que

on pourrait ajouter : en déduire que R n'est pas dénombrable

[Clembou]

Salut à tous,

un résultat pas compliqué mais très joli et aux conséquences intéressantes :

montrer que pour tout réel x, il existe une suite d'élements de {-1,1} telle que

on pourrait ajouter : en déduire que R n'est pas dénombrable

Comment montrer que ou est en fait la série suivante :



avec

:briques:

[skilveg]

On peut voir ça comme un cas particulier du théorème de Riemann sur les séries semi-convergentes!

[aviateurpilot]

on peux supposer que ( pour x<0 on travaill avec -x)

soit la suite tel que:
soit

j'ai montrer que dans ce cas

si je n'ai pas fait d'erreur mon raisonnement montre aussi que si une suite tel que et comme le cas de
alors il exists tel que

[kazeriahm]

oui on est d'accord aviateurpilot c'est tout simple comme résultat en fait mais assez surprenant je trouve

si je note , est-ce que l'application qui va de F dans R* et qui à associe est bijective ?

elle est clairement surjective mais l'injectivité ne me semble pas évidente...

[Pouick]

le truc, c'est que, comme la série en 1/n diverge, tu peux donc par la méthode dit par aviateurpilot , arreter le processus à un endroit donc genre :
< x
puis aulieu d'ajouter , juste une fois tu ajoutes -1 .
Puis tu reprends le processus . Au final, tu vas retomber sur x , mais pas avec la même suite... non ?

[leon1789]

oui on est d'accord aviateurpilot c'est tout simple comme résultat en fait mais assez surprenant je trouve

si je note , est-ce que l'application qui va de F dans R* et qui à associe est bijective ?

elle est clairement surjective mais l'injectivité ne me semble pas évidente...

La fonction n'est pas injective.
En posant e_0 = -1, on arrive encore à toucher n'importe quel car

[leon1789]

le truc (...) Au final, tu vas retomber sur x , mais pas avec la même suite... non ?

on est d'accord :we:

[aviateurpilot]

mon raisonnement montre aussi une generalisation si je n'ai pas fait d'erreur

Si une suite tel que et comme le cas particulier de .
et si bornée tel que comme le cas particulier de {-1,1}

alors pour tt elle existe une INFINITé de suites tel que

[miikou]

si alors
alors
de tel sorte on divise en 2 sous suites Un, lune decroissante minore par x, la seconde croisant majorer par x, la limite vaut x