Apprentissage de la contraposée

[Skullkid]

Pour ma part j'ai appris ces termes en TS, on avait eu une leçon sur les conditions nécessaires et/ou suffisantes, implications, équivalences et contraposées, sans sortir les tables de vérité et tout. Sinon j'en avais pas entendu parler avant, et pour montrer qu'une triangle n'était pas rectangle au collège, j'invoquais la réciproque du théorème de Pythagore...

[leon1789]

Je me rappelle avoir appris le mot « contraposée » dans mon premier cours de maths de MPSI (où on avait « revu » des bases de logique).

ok, mais alors...

(...) Sinon j'en avais pas entendu parler avant, et pour montrer qu'une triangle n'était pas rectangle au collège, j'invoquais la réciproque du théorème de Pythagore...

... laisserions-nous les élèves de collège et lycée dans la confusion entre implication, contraposée et réciproque ?
(pour ensuite leur "taper dessus" quand ils font l'erreur de confondre)

[guigui51250]

ok, mais alors...

... laisserions-nous les élèves de collège et lycée dans la confusion entre implication, contraposée et réciproque ?
(pour ensuite leur "taper dessus" quand ils font l'erreur de confondre)

bah je pense que la contraposée comme beaucoup d'autres notions est en train de tomber à l'eau pour le pas embrouiller les élèves avec trop de notions pour un même théorème

[leon1789]

Peut-être mais c'est quand très embêtant de remplacer le mot "contraposée" par "réciproque". Par exemple, voici trois rédactions :

-1- On a AB²=AC²=4 et BC²=9. Or donc la contraposée du théorème de Pythagore montre que ABC n'est pas rectangle en A.

-2- On a AB²=AC²=4 et BC²=9. Or donc le théorème de Pythagore montre que ABC n'est pas rectangle en A.

-3- On a AB²=AC²=4 et BC²=9. Or donc la réciproque du théorème de Pythagore montre que ABC n'est pas rectangle en A.


Autant la version -1- me paraît parfaite, autant la -3- est objectivement fausse ! Quand à la -2-, elle pourrait convenir étant donné qu'une implication et sa contraposée ont la même valeur logique...

[guigui51250]

Peut-être mais c'est quand très embêtant de remplacer le mot "contraposée" par "réciproque". Par exemple, voici trois rédactions :

-1- On a AB²=AC²=4 et BC²=9. Or donc la contraposée du théorème de Pythagore montre que ABC n'est pas rectangle en A.

-2- On a AB²=AC²=4 et BC²=9. Or donc le théorème de Pythagore montre que ABC n'est pas rectangle en A.

-3- On a AB²=AC²=4 et BC²=9. Or donc la réciproque du théorème de Pythagore montre que ABC n'est pas rectangle en A.


Autant la version -1- me paraît parfaite, autant la -3- est objectivement fausse ! Quand à la -2-, elle pourrait convenir étant donné qu'une implication et sa contraposée ont la même valeur logique...

bah ouè mais c'est comme ça, c'est l'évolution de l'enseignement :--:

[leon1789]

Vu que c'est la rentrée, je relance ce topic ... si jamais un enseignant de collège ou lycée passait par là ! :happy2:

Bref, je termine en posant ces questions :
Au collège, on parle de sens direct, de réciproque, mais pas de contraposée ?
Comment fait-on pour justifier qu'un triangle n'est pas rectangle ? Quelle rédaction est conseillée (exigée) ?

[Patastronch]

Avec une equerre :zen:

[guigui51250]

Vu que c'est la rentrée, je relance ce topic ... si jamais un enseignant de collège ou lycée passait par là ! :happy2:

rédaction exigée pour ma part dans mon collège c'était ça (sauf en 3ème où on avait une prof assez rigoureuse)

[leon1789]

Avec une equerre :zen:

:marteau:

:zen:

[rene38]

Au siècle dernier en 4ème/3ème :

AB = 2 ; AC = 2 ; BC = 3
donc
AB² = 2² = 4 ; AC² = 2² = 4 ; BC² = 3² = 9

Si ABC est rectangle
(ce ne peut être qu'en A puisque [BC] est le plus grand côté)
alors d'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC²
soit BC² = 4 + 4 = 8
ce qui est faux.
Donc ABC n'est pas un triangle rectangle.

[leon1789]

Au siècle dernier en 4ème/3ème :

AB = 2 ; AC = 2 ; BC = 3
donc
AB² = 2² = 4 ; AC² = 2² = 4 ; BC² = 3² = 9

Si ABC est rectangle
(ce ne peut être qu'en A puisque [BC] est le plus grand côté)
alors d'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC²
soit BC² = 4 + 4 = 8
ce qui est faux.
Donc ABC n'est pas un triangle rectangle.

Ok, :we:

Là, je constate qu'on évite le mot "contrposée" en commençant un mini raisonnement par l'absurde,
mais sans y mettre > > car la situation est très simple (vu que c'est en fait une simple contraposée).

[guigui51250]

ouè c'est un peu près le même principe mais ce qui me gèe un peu c'est que tu écrives BC²=8, même si tu dis que c'est faux après mais tu écris quand même l'égalité. Enfin bon celà dit ça ne choquera pas un élève de collège ^^

[leon1789]

ouè c'est un peu près le même principe mais ce qui me gèe un peu c'est que tu écrives BC²=8, même si tu dis que c'est faux après mais tu écris quand même l'égalité.

ben, c'est un peu le principe du raisonnement par l'absurde : d'un coté BC²=9 et de l'autre BC²=8... même si ce n'est pas dit exactement comme ça.

[guigui51250]

ben, c'est un peu le principe du raisonnement par l'absurde : d'un coté BC²=9 et de l'autre BC²=8... même si ce n'est pas dit exactement comme ça.

lol ouè peut-être, enfin bon tout ça pour dire que la contraposée est passée aux oubliettes

[nuage]

Salut leon1789

ben, c'est un peu le principe du raisonnement par l'absurde : d'un coté BC²=9 et de l'autre BC²=8... même si ce n'est pas dit exactement comme ça.

Mais oui, l'utilisation de la contraposé est un raisonnement par l'absurde.
Mais il est vrai qu'il est plus facile à formaliser que le cas général.
Pour ma part, ex-prof de collège, je présentais ça sous la forme suivante :
(c'est utilisation de la contraposée, mais sans le dire)
Si ABC est rectangle en A alors AB²+AC²= BC² (Pythagore) or AB²+AC²# BC² donc ABC n'est pas rectangle en A.
Et il ne m'a jamais semblé que ça pose problème aux élèves. La contraposé est beaucoup plus naturelle que la négation d'une implication.

Ceci étant dit, le fait d'utiliser la réciproque de Pythagore dans ce cas est, en effet, une erreur logique grave.
Malheureusement fréquente.

[leon1789]

Mais oui, l'utilisation de la contraposée est un raisonnement par l'absurde.

oui et non, ça dépend comment on voit les choses.

Mais il est vrai qu'il est plus facile à formaliser que le cas général.

Le raisonnement par l'absurde est surtout plus lourd à rédiger et son intérêt (sur une contraposée naturelle) est clair uniquement dans des situations plus complexes.

Pour ma part, ex-prof de collège, je présentais ça sous la forme suivante :
(c'est utilisation de la contraposée, mais sans le dire)
Si ABC est rectangle en A alors AB²+AC²= BC² (Pythagore) or AB²+AC²# BC² donc ABC n'est pas rectangle en A.

Ok !

Et il ne m'a jamais semblé que ça pose problème aux élèves. La contraposé est beaucoup plus naturelle que la négation d'une implication.

Je suis bien d'accord. D'où le fait qu'on ne prononce même pas le mot bien qu'on utilise le "concept".

Ceci étant dit, le fait d'utiliser la réciproque de Pythagore dans ce cas est, en effet, une erreur logique grave.
Malheureusement fréquente.

Peut-être que la fréquence de cette erreur est augmentée par l'absence du mot "contraposée"... je ne sais pas.