Apprentissage de la contraposée

[leon1789]

Bonjour

Dans cette discussion
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=67323
Euler911 dit qu'il ne connait pas la contraposée.
Bien sûr, sur un exemple, il a compris instantanément de quoi il s'agit.

Je me suis posé alors la question : quand apprend-on ce qu'est la contraposée ? Visiblement pas au lycée.

Mais il se trouve qu'un théorème connu (à savoir le théorème de Pythagore) est étudié dans "tous les sens" dès le collège.

Théorème de Pythagore :
Soit un triangle ABC rectangle en A. Alors AB²+AC²=BC²

Ceci est utile pour calculer des longueurs dans plein de circonstances, etc. Vous connaissez la chanson :id:

Or, toujours niveau collège, il y a aussi des questions du style : montrer que le triangle ABC n'est pas rectangle. Et là, comment justifie-t-on le résultat ? C'est la question qui m'intéresse.

Alors, évidemment, méchant garçon que je suis, j'ai jeté un coup d'oeil sur netprof
http://www.netprof.fr/content/videos/100/MATHEMATIQUES_troisieme_THEOREME_pytagore.pdf
Il énoncé la réciproque du théorème :

Réciproque du théorème de Pythagore :
Dans le triangle ABC (BC est le plus grand des côtés.)
Si on a BC² = AB² + BC², alors par la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.

D'une, on n'a pas besoin de savoir que BC est le plus grand coté (puisque l'hypothèse BC² = AB² + BC² l'implique forcément), mais bon passons.

Et là, il traite aussitôt l'exemple :

Exemple
Dans le triangle ABC, BC est le plus grand des côtés.
Or, on a : BC² = 6² = 36 et AB² + AC² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34 36.
D’où BC² AB² + AC². Donc par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.

Et, vous l'avez compris, c'est la cata ! :hum: Le prof confond "réciproque" et "contraposée" ! Vous me direz : ben oui, c'est netprof ! Mouais, c'est vrai qu'ils ne sont pas à un "bug" près...

Contraposée du théorème de Pythagore :
Soit ABC un triangle. Si AB²+AC² n'est pas égal à AB² , alors ABC n'est pas rectangle en A.

Mais cette confusion est souvent rencontrée à des niveaux d'étude supérieurs, ce qui est "assez" gênant...


Bref, je termine en posant ces questions :
Au collège, on parle de sens direct, de réciproque, mais pas de contraposée ?
Comment fait-on pour justifier qu'un triangle n'est pas rectangle ? Quelle rédaction est conseillée (exigée) ?
Merci

[guigui51250]

Bref, je termine en posant ces questions :
Au collège, on parle de sens direct, de réciproque, mais pas de contraposée ?
Comment fait-on pour justifier qu'un triangle n'est pas rectangle ? Quelle rédaction est conseillée (exigée) ?
Merci

Bha au collège on m'a appris que la réciproque c'est quand ça marche et la contraposée c'est quand ça marche pas et c'est tout donc voilà mais depuis je n'ai plus jamais entendu parlé de contraposée depuis aujourd'hui alors que je suis en TS

attention le niveau baisse de plus en plus

[Euler911]

Re-bonjour,

Aussi loin que mes souvenirs remontent, j'ai toujours dû justifier le fait qu'un triangle est rectangle en A par la réciproque! Pourquoi n'est-ce pas correct???


P.S.: c'est encore l'aberration mathématique qui a écrit ce cours???

[Euler911]

Je crois avoir compris: la réciproque d'une proposition n'est pas nécessairement vraie. Alors que (a=>b)<=>(non b=>non a). Est-ce pour ça?

[guigui51250]

Je crois avoir compris: la réciproque d'une proposition n'est pas nécessairement vraie. Alors que (a=>b)(non b=>non a). Est-ce pour ça?

peut-être lol à vrai dire on ne m'a jamais vraiment appris ce que c'est, on m'a juste dit quand je devais dire que c'est la réciproque et moi je fesais ça bêtement

[leon1789]

Bha au collège on m'a appris que la réciproque c'est quand ça marche

ok, tu veux dire qu'on prouve que le triangle est rectangle.

et la contraposée c'est quand ça marche pas

ok, tu veux dire qu'on prouve que le triangle n'est pas rectangle.

et c'est tout donc voilà mais depuis je n'ai plus jamais entendu parlé de contraposée depuis aujourd'hui alors que je suis en TS

ok

[leon1789]

Re-bonjour,

Aussi loin que mes souvenirs remontent, j'ai toujours dû justifier le fait qu'un triangle est rectangle en A par la réciproque! Pourquoi n'est-ce pas correct???

Si, utiliser la réciproque pour prouver qu'un triangle est rectangle, c'est correct.

Mais c'est pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle en A que, normalement, on invoque la contraposée.

Sur netprof, elle invoque la réciproque pour démontrer que le triangle n'est pas rectangle en A. :triste:

P.S.: c'est encore l'aberration mathématique qui a écrit ce cours???

Non, c'est un second prof ! ...et oui, ils sont plusieurs... :triste:

[Euler911]

Non, c'est un second prof ! ...et oui, ils sont plusieurs... :triste:

Dieu! nous sommes envahi par la verm********

[leon1789]

Je crois avoir compris: la réciproque d'une proposition n'est pas nécessairement vraie. Alors que (a=>b)(non b=>non a). Est-ce pour ça?

Oui, si une implication A=>B est vraie, la réciproque B=>A ne l'est pas forcément.
Alors la contraposée non B => non A est vraie.

Je me demandais si, au collège, on prononçait le mot "contraposée" ou si on l'omettait volontairement.

[leon1789]

peut-être lol à vrai dire on ne m'a jamais vraiment appris ce que c'est, on m'a juste dit quand je devais dire que c'est la réciproque et moi je fesais ça bêtement

ben, c'est une première phase. Ensuite, plus tard, il s'agit de comprendre :id:

[Euler911]

Je me demandais si, au collège, on prononçait le mot "contraposée" ou si on l'omettait volontairement.

Dans mon école, on l'oubliai volontairement je pense...

[guigui51250]

ouè enfait il faut déjà connaitre le résultat pour savoir si on parle de contraposée ou de réciproque

[leon1789]

Dans mon école, on l'oubliai volontairement je pense...

Alors, sans écrire le mot "contraposée", comment justifies-tu qu'un triangle ABC tel que AB=AC=2 et BC=3 n'est pas rectangle en A ? Fais comme si tu étais au collège, rappelle toi comment on te demandait rédiger la réponse stp :id:

[Euler911]

Eh bien moi on m'a appris qu'il fallait calculer BC² et AB²+AC² et voir si s'est égal . Si ce n'était pas le cas, le triangle n'était pas rectangle, point à la ligne, 10/10.

[guigui51250]

Alors, sans écrire le mot "contraposée", comment justifies-tu qu'un triangle ABC tel que AB=AC=2 et BC=3 n'est pas rectangle en A ? Fais comme si tu étais au collège, rappelle toi comment on te demandait rédiger la réponse stp :id:

moi je dirais

AB=AC=2 donc AB²+AC²=2²+2²=8
BC=3 donc BC²=9

BC²#AB²+AC² donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC n'est pas rectangle en A

mais on devrai dire d'après la contraposée du théorème de Pythagore mais j'ai toujours fait comme je viens de faire

[Euler911]

Eh bien moi on m'a appris qu'il fallait calculer BC² et AB²+AC² et voir si s'est égal . Si ce n'était pas le cas, le triangle n'était pas rectangle, point à la ligne, 10/10.

L'année d'après ma nouvelle prof de math m'a dit que je n'avais aucune rigueur... je comprends pourquoi maintenant:ptdr:! Aujourd'hui ça s'arrange, heureusement!

[guigui51250]

L'année d'après ma nouvelle prof de math m'a dit que je n'avais aucune rigueur... je comprends pourquoi maintenant:ptdr:! Aujourd'hui ça s'arrange, heureusement!

lol ouè la rigueur vaire beaucoups celon les prof, moi en seconde j'avais un prof qui n'avait pas beaucoup de rigueur mais en 1ère c'était plus la même chose au début j'ai eu du mal à m'y mettre mais c'est bien mieux comme ça

[Nightmare]

Salut :happy3:

Le raisonnement par contre-apposition et ab absurdum ne "s'apprenent" pas, ce sont des tautologies naturelles.

Cependant il est vrai que c'est inexact dans le sens rigueur de citer la réciproque de Pythagore pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle, alors que justement ce théorème sert à démontrer qu'un triangle l'est. De toute façon, on voit très vite disparaitre la distinction entre un théorème et sa réciproque au fur et à mesure des années, et ainsi lorsqu'un théorème et sa réciproque sont tous les deux vraies, les deux seront rassemblés pour ne former qu'un théorème.

Aussi, on énonce le théorème de Pythagore par "Un triangle est rectangle si et ssi le carré du côté blablabla".

:happy3:

[guigui51250]

Salut :happy3:

Le raisonnement par contre-apposition et ab absurdum ne "s'apprenent" pas, ce sont des tautologies naturelles.

Cependant il est vrai que c'est inexact dans le sens rigueur de citer la réciproque de Pythagore pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle, alors que justement ce théorème sert à démontrer qu'un triangle l'est. De toute façon, on voit très vite disparaitre la distinction entre un théorème et sa réciproque au fur et à mesure des années, et ainsi lorsqu'un théorème et sa réciproque sont tous les deux vraies, les deux seront rassemblés pour ne former qu'un théorème.

Aussi, on énonce le théorème de Pythagore par "Un triangle est rectangle si et ssi le carré du côté blablabla".

:happy3:

ouè maintenant au lycée on se passe de tout le blabla, on dit d'après pythagore et c'est tout on se comprend et c'est bien plus simple

[Euler911]

On est même presque programmés pour ne plus devoir réfléchir,... c'est assez étrange...:ptdr: On s'étonne ensuite si beaucoup de jeunes n'y comprenne rien aux maths...