Anneau definition

[jeancam]

bonjour, qqun pourrait me dire si dans la definition d' un anneau l existance à gauche de l'unité suffit?
j'arrive à le montrer quand l anneau est integre mais pas dans le cas general. peut on m'aider.merci.

[leon1789]

hi,
Je ne sais pas.

j'arrive à le montrer quand l anneau est integre mais pas dans le cas general.

Mais, par définition habituelle, un anneau intègre est commutatif, non ?

[leon1789]

dans un anneau réduit (non commutatif), ça fonctionne aussi.

[Jonny]

Salut,
je n'ai jamais vu cette expression "existence à gauche de l'unité" :hein:

Qu'est ce que ça veut dire, s'il vous plaît ?

[leon1789]

e élément neutre à gauche lorsque ex=x pour tout x

[jeancam]

ç etait une façon abrégée et impropre de dire que pour tout a 1xa=a
apparamment Leon me dit que çà entraine ax1=a
j en suis tres heureux car çà fait mrcher une demonstration assez jolie d un truc

[leon1789]

ça fonctionne dans le cas d'un anneau réduit, c'est-à-dire sans élément nilpotent.

Après je ne sais pas...

[jeancam]

justement çà me suffit. genial
c est pour prouver qu un anneau ou a^n=a pour un n est commutatif.
j arrive par un tour de pase passe à montrer que les a^(n-1) où a^n=1
bon a plus tard ma femme veux l ordi
merci

[leon1789]

Ca ne fonctionne pas de manière générale :

Dans les matrices 2x2,
prends la matrice P := E_22
et la matrice Q := E_21 + E_22

On a PP = P et PQ = Q
donc P est un élément neutre à gauche dans l'anneau engendré par P et Q
mais QP = P !

[jeancam]

merci deux fois

[ffpower]

Peut tu donner ta demo,ca m interesse.En fait c est plus général le vrai résultat(n peut dépendre de a),c est le theoreme de Jacobson,mais la demo a l air compliquee et j ai pas eu le courage de la lire.J aimerais bien du coup voir une demo simple,dans ce cas particulier..