Angles égaux ou de même mesure ?

[wilfriedd]

Bonjour à tous,
j'ai une petite question à poser, est-ce que c'est correct de dire que des angles sont égaux au lieu de dire de même mesure ou est-ce un abus de language ?
Merci

[ffpower]

Ben pour moi en tout cas, un angle c'est un nombre et donc dire que 2 angles sont égaux ne me pose pas de probleme. après pour d'autres, peut etre qu un angle c'est une figure géométrique auquel cas ce serait moins pertinant. Donc che pas trop^^

[Imod]

C'est exactement la même chose ou plus exactement il y a une bijection entre les deux . Par contre , il ne faut pas confondre angle et secteur angulaire .

Imod

[Nightmare]

Salut !

En fait je pense que la question vient surtout de la distinction entre un angle et sa classe modulo 2pi.

[mathelot]

Bonjour,


1) il y a plusieurs trigonométries
-circulaire, lemniscatique, hyperbolique, parabolique
chaque trigonométrie définit ses propres angles
2)
usuellement, on se sert de la trigonométrie circulaire
dans cette trigonométrie,
il y a plusieurs sortes d'angles et chacun a sa mesure
à priori , on ne confond pas un objet et sa mesure
(la table n'est pas le mètre carré qui la mesure :we: )

Une définition axiomatique de la trigonométrie (générale) conduirait
aux propriétés suivantes:
- définition d'un produit scalaire à partir d'une forme bilinéaire,
définie,positive, non dégénérée
- matrices orthogonales et groupe orthogonal O(n)
- parmi ces matrices, celles de déterminant 1, directes (préservant l'orientation) sont appelées "rotations"
un angle est une rotation

Le cosinus (formel) d'un angle est ainsi le 1er coefficient de
la matrice d'une rotation.
exemple: un produit scalaire entre polynômes définirait un cosinus
entre polynômes !

Donc une rotation est une application linéaire orthogonale
vérifiant
q(f(e1))=1,q(f(e2))=1, f(e1).f(e2)=0 où q() est la forme quadratique
associée au produit scalaire.

Dans le cas de la trigonométrie circulaire (cercle) , il y a , en plus, une application holomorphe complexe particulière , l'exponentielle complexe exp(z)
qui enroule la droite réelle sur le cercle , le fameux et définit un morphisme
entre classes de nombres (des abscisses curvilignes modulo )
et les fameuses matrices de rotations du groupe orthogonal du plan.

On récupère alors des fonctions cosinus et sinus , définies très laborieusement avec des limites de polynômes. En "remontant"
cette application exponentielle (revêtement du cercle), on obtient des mesures d'angles, comme ensembles de nombres différant d'un multiple
entier de périmètre ()

l'addition des angles étant la composition (commutative) des rotations.
du fait que cette exponentielle est un morphisme ,
on peut ajouter deux mesures d'angles, et l'ajout des classes d'équivalence,
modulo correspond bijectivement à la compose de 2
rotations.
On obtient une formule de Chasles .

En trigonométrie hyperbolique,il y a un groupe des angles
(rotations hyperboliques), un morphisme, l'exponentielle réelle
des mesures (argch()), mais pas de modulo.

Dans l'espace de dim 3, il y a des angles solides ,dits angles dièdres, qui n'ont pas ces propriétés additives.

On confond sans problème:
- angles de demi-droites, angles de vecteurs

En quotientant le groupe des rotations par le sous-groupe à deux éléments
constitué de l'angle plat et de l'angle plein , on obtient les
angles de droites.
Les mesures d'angles passent aussi au quotient et définissent des mesures
d'angles de droites modulo

A noter qu'il y a un nombre en trigo lemniscatique mais pas
en trigonométrie hyperbolique.
Quand à la courbure de l'espace, elle intervient dans la courbure
des différents "cercles" (vrais cercles, hyperboles, sphères..)
le nombre pi n'est pas une constante physique mais mathématique.
Sa définition ne préjuge pas de la courbure nulle ou non de l'Univers
qui serait plutot liée à la densité de Matière.

PS1: les secteurs angulaires servent à des fins didactiques pour les enfants. Ils souffrent des mêmes défauts que les angles dièdres de dimension 3, ils ne s'additionnent pas ou difficilement
La trigonométrie est-elle fondamentale en maths ou une technique somme toute secondaire, la question mérite d'être posée...