L'angle limite...énoncé simple mais pb loin de l'être
Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
par wasiwasa1729 » 22 Sep 2009, 08:52
D'abord bonjour a tous,
Voila je suis sur une petite recherche qui me laisse perplexe:
prenons un triangle ABC et un point M du plan. En reliant M aux 3 points A,B et C on obtient 3 nouveaux triangles ABM, ACM et BCM.
Jusque là rien de diabolique.
On cherche ou placer M pour que ces 3 triangles aient le même périmètre.
ca se complique...
En cherchant un peu vous remarquerez que pour certains triangles ABC il y a un seul point M du plan qui vérifie cette propriété. Pour les autres il n'y en a aucun.
???
Et là je cherche la valeur exacte de l'angle obtus du triangle ABC pour laquelle il devient impossible (quel que soit les 2 autres angles) de trouver un point M vérifiant l'égalité des périmètre.
Il semble que cet angle vaut environ 106,26°. Quelle est la valeur exacte de cet angle? Et comment la trouve t on?
Dans le cas ou il n'y a pas d'angle obtus on peut toujours trouver M. par contre quand il y a un angle obtus plus petit que 106,26, pour savoir si il existe un point M il faut regarder les autres angles.
Alors si vraiment le problème vous branche pouvez vous me trouver la fonction donnant le plus grand des 2 angles aigus a partir duquel il n'y a plus de point M en fonction de l'angle obtus(ex pour 100° on trouve environ 74,4°)
Voilà si vous pouvez m'éclairer je lirais vos réponses avec bcp de plaisir. Si vous ne trouvais pas alors vous serez un peu dans le même etat que moi...
Je sais pas si j'aurais des réponses mais a tous ceux qui passent par ici je souhaite de Bonnes vacances .
Manu.
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Finrod
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par Finrod » 24 Sep 2009, 14:39
Ton premier triangle est fixé. On note par ex a,b,c, ses côtés
Tu en place un second de même périmètre (par exemple collé au côté b). Tu peux toujours le faire. Cela te donne un paramètre variable : la longueur des côtés, que l'on noté trés originalement d et e.
reste a savoir si en reliant le point M ainsi construit au dernier sommet du premier triangle, cela résout le probleme. On note f la longueur de ce dernier côté.
De mon point de vue, tu as deux équations :
f=a+b-e (en supposant que c'est e et non d qui appartient au 3eme triangle)
f= c |cos(alpha)|+e|cos(beta)| (sur le dessin, le troisieme triangle est donc donné par f,c et e)
ça revient à une équations non linéaires à trois inconnues: X,Y,Z du type
csteX+Y(Z+1)=cste
où l'on cherche uniquement les solutions telles que X et Z (qui correspondent au valeur absolues des cos des angles) soient compris entre 0 et 1.
Aprés je pense qu'un programme informatique peut le résoudre et donner des valeurs très précise. mais je n'ai pas ma calculette scientifique là.
ps: Ce ne sera pas des valeurs exactes, cela dit résoudre des polynômes à plusieurs variable et de degrés 2, c'est coton.
Edit: C'est juste une piste bien entendu. j'ai fixé le côté b comme côté adjacent des deux premiers triangles, il y a avait pourtant trois choix, certainement a étudier séparément.
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