Analyse-Integrale-substitution (Terminal)

[Sophiphie]

Hello a tous,

J‘ai une petite question de curiosité et de „légalité“ d‘une intégration par substitution.
En effet, à quel point est-il mathématiquement correct de substituer une „notation de différenciation“.

Petit exemple pour être clair:

Pour cette intégral:


J‘ai deux méthodes:
La première, changement de variable: t=cos(x)
Ce qui donne:

Bref quelque chose de bien moche, sauf erreur.

Pourtant la plupart des personnes vont plutôt substituer le dx:

Ce qui donne:


Mais ici, on remplace littéralement dx par da, ce que je ne trouve par mathématique très correct, est-ce que ce technique est vraiment rigoureusement justifiée et a-t-elle des limites d’utilisation?

Merci à vous !

[hdci]

Bonjour,

La première, changement de variable: t=cos(x)

Euh... Quelle est votre fonction g ? Parce que si g est la fonction cosinus, alors



Et je ne pense pas que ce soit cela que vous vouliez faire. Vous vouliez plutôt écrire



Avec et

Mais ici, vous n'avez toujours pas fait de changement de variable car vous écrivez



Vous n'avez pas fait de changement de variable, simplement remplacé x par t.

Le changement de variable c'est justement de dire mais alors

Et alors cela devient



Beaucoup moins "moche" que ce que vous avez trouvé... (qui au demeurant était faux puisque vous remplaciez dx par dt, mais vous remplaciez également cos(x) par t, bref vous faisiez ce que vous trouviez "illégal" dans la seconde partie...).

Mais ici, on remplace littéralement dx par da, ce que je ne trouve par mathématique très correct, est-ce que ce technique est vraiment rigoureusement justifiée et a-t-elle des limites d’utilisation?

Non on ne remplace pas littéralement dx par da, c'est qu'on a remplacé par
(Remarque : attention aux parenthèses manquantes dans )