Algorithmes d'extractions des racines carrées

[Mendz.Essomb.F]

Bonjour à tous l'univers de forum math à qui je souhaite déjà une bonne et heureuse année.
J'aimerai avoir votre avis et aussi de l'aide sur le degré de convergence de ces formules d'extractions des racines carrées que j'ai imaginée:
Merci très cordialement:

a) Formules rationnelles. \\

\begin{equation}
x_{n+1}= x_{n} \dfrac{ x_{n}^{2} + 3b }{ 3x_{n}^{2} + b } \\ x_{n}\to \sqrt{b}
\end{equation}


\begin{equation}
x_{n+1}= \dfrac{1}{4} ( x_{n} + \dfrac{b}{ x_{n} } ) +\dfrac{bx_{n} }{ x_{n}^{2}+b } \\ x_{n}\to \sqrt{b}
\end{equation}


\begin{equation}
x_{n+1}= \dfrac{ x_{n}^{5} + 10bx_{n}^{3}+5b^{2}x_{n} }{ 5x_{n}^{4} + 10bx_{n}^{2}+b^{2} } \\ x_{n}\to \sqrt{b}
\end{equation}


\begin{equation}
x_{n+1}= \dfrac{ x_{n}^{6} + 15bx_{n}^{4}+15b^{2}x_{n}^{2}+b^{3} }{ 6x_{n}^{5} + 20bx_{n}^{3}+6b^{2}x_{n} }
\\ x_{n}\to \sqrt{b}
\end{equation}


\begin{equation}
x_{n+1}= x_{n}\dfrac{x_{n}^{2}+3b}{3x_{n}^{2}+b}\dfrac{x_{n}^{2}( x_{n}^{2}+3b )^{2}+3b( 3x_{n}^{2}+b ) }{ 3x_{n}^{2}( x_{n}^{2}+3b )+b( 3x_{n}^{2}+b ) }
\\ x_{n}\to \sqrt{b}
\end{equation}


\begin{equation}
x_{n+1}=\dfrac{1}{16}( x_{n}+\dfrac{b}{x_{n} } )+\dfrac{1}{4}\dfrac{bx_{n}}{b+x_{n}^{2}}

+ \dfrac{b}{ x_{n}^{2}+\dfrac{b}{x_{n}}+\dfrac{4bx_{n}}{b+x_{n}^{2}} }

+ \dfrac{ 4bx_{n}(x_{n}^{2}+b)^{3}+16b^{2}x_{n}^{3}(x_{n}+b) }{ 16bx_{n}^{2}(x_{n}^{2}+b)^{2}+

|(x_{n}^{2}+b)^{2}+4bx_{n}^{2}|^{2} }

\\ x_{n}\to \sqrt{b}
\end{equation}


\begin{equation}
Pour\,tout\,a\de\R \\

x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\dfrac{x_{n}^{3}+ax_{n}^{2}+bx_{n}+ab }{ x_{n}^{2}+ax_{n} } \\

x_{n}\to \sqrt{b}
\end{equation}

[leon1789]

visiblement, ça converge vite quand on est au voisinage de