Dm Algèbre

[Cam12968]

Bonjour
Je suis en 1 S et je dois faire un dm de maths pour mardi
Cependant,la prof ne nous a pas fais de cours qui traite les questions posés et j'aurais vraiment besoin d'aide!
Voilà le sujet
On considère le polynôme P défini sur R par P(x)=x^3+4x^2-3x-18
1.montrer que -3 est une racine de P
J'ai trouver que oui en remplacant p(x) par p(-3)
P(-3) est bien égal à 0
2.determiner trois réels à,b et c tels que À x € R,P(x)=(x+3)(ax^2+bx+c)
Là je sèche,j'ai essayer de développer mais cela m'amène à rien!
3.En déduire toutes les racines de P
Si question 2 réussi,il y a deux produits de facteurs donc c'est facile
4.Résoudre l'inéquation x^3+4x^2<ou =3x+18
Je sèche complètement
Merci d'avance de votre aide...

[infernaleur]

Bonjour,
pour la 2) il faut en effet développer le polynôme qu'on te donne (P(x)=(x+3)(ax^2+bx+c))
Tu trouves :
P(x)=ax^3+bx^2+cx+3ax^2+3bx+3c=(...)x^3+(...)x^2+(...)x+(...)
(A toi de remplir les (...))

Une fois cela fait tu dois identifier les coefficients que tu as trouvé dans les (...) puis les identifier avec les coefficients de ton polynôme de départ (P(x)=x^3+4x^2-3x-18)

Tu pourras trouver a, b et c

[Cam12968]

À tu une astuce pour remplir les(...)

[infernaleur]

Factoriser ^^

[Cam12968]

Je ny arrive pas comment factoriser ax^3+bx^2+ce+3ax^2+3bx+3c?
Par x?

[infernaleur]

non il faut déjà regarder quelles termes tu peux regrouper ensemble.

Au départ, tu regardes tout les termes où il y a des x^3 ( la il n'y a que ax^3 )
donc le premier (...)x^3 sera tout simplement ax^3 on ne peut rien changer.

Ensuite on regarde les termes où il n’y que des x^2 (on a bx²+3ax²=(b+3a)x²)
donc le (...)x^2 sera tout simplement (b+3a)x^2

tu fais la même chose pour les termes en x etc

Et tu regroupes tout, on obtient a la fin un polynôme qui a cette forme P(x)=(...)x^3+(...)x^2+(...)x+(...)

[Cam12968]

Ax^3+(b+3a)x^2+3bx+c(x+3)

[infernaleur]

Attention petite erreur :

ax^3+(b+3a)x^2+3bx+c(x+3)

Pourquoi n'as tu pas regrouper le cx avec le 3bx ?
Car pour la suite une telle forme ne te permettra pas d'identifier les coefficients de ton polynôme.
Dans les (..) que je t'es dit de compléter tu ne dois pas faire apparaître des x !

[Cam12968]

Donc à=1
b+3a=4
3b+c=-3
3c=-18

[infernaleur]

Exactement !

[Cam12968]

à=1
b=1
c=-6
3x(-6)=-18

[Cam12968]

Et après ?

[infernaleur]

Tu as trouvés a,b et c c'est ce qui était demandé.
Pour la 4) fait tout passer dans le membre de gauche et tu remarqueras quelque chose

[Cam12968]

On trouve p(x) <ou = à 0

[infernaleur]

Oui exactement, maintenant que tu as la question 2) fait la question 3) tu pourras faire la 4) ensuite.

[Cam12968]

Oui on a
P(x)=(x+3)(x^2+x-6)
On a donc x=-3 ou x^2+x-6=0
Comment je fais?

[infernaleur]

Connais tu delta=b²-4ac ou vous ne l'avez pas encore vu ?
Ou bien la forme canonique ?

[Cam12968]

Si mais j'ai fais(x+3)(x-2)=0
X=-3
X=2
Il y a d'autre solutions?

[Cam12968]

Non car d=25 >0 donc 2 solutions

[Cam12968]

Et après pour la 4?