[TPE] Aléatoire - Chaos [math + physique]

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 07 Juin 2009, 21:02

Ah carrément, c'est à ce point-là ?!
Dans mon lycée on peut choisir d'après mes profs.



guigui51250
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par guigui51250 » 08 Juin 2009, 07:35

Il faudra que tu vois avec ton lycée de l'année prochaine si c'est le même système. Mais dans la plupart des lycée c'est comme ça.

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 08 Juin 2009, 07:43

Je reste dans le même :)

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 08 Juin 2009, 19:18

Re,

bon, on a pas mal discuté avec Domi aujourd'hui (oui, j'ai traîné toute la journée chez moi) pour rechercher un bon sujet.
On est tombés d'accord sur ce que devait contenir le TPE. Celui-ci devra être constitué des parties suivantes :

1) Expérimentale : on réalise un montage, une expérience, on en tire des données brutes.

2) On analyse les données et on tire une modélisation mathématique du phénomène.

3) Avec le modèle créé en 2), on génère un test.

3 bis) On compare les résultats expérimentaux (de l'expérience de base) et théoriques (ceux donnés par le modèle mathématique). Si ça marche c'est cool, si non ... non.

4) Conclusion : on a fait (ou pas) une démarche scientifique viable.

Voilà la première de nos conclusions.

Ensuite on s'est demandé sur quelle expérience se baser pour le 1) : en gros qu'aborder précisément dans le TPE. Et là, une foule d'idées sont venues, les voici en vrac.

1) Loi exponentielle, désintégration radioactive avec en gros un compteur geiger et une source radioactive.

2) Espace des phases, là ce serait plus une simu par ordinateur.

3) Expérience classique de type tirages dans une urne ou lancers de dés, à la main.

4) Etude du chaos par un circuit électronique très simple, oscillo (assez précis tout de même), plaque à essai, générateur.

5) Physique des courbes, étude thermodynamique des courbes définies par des suites.

6) Simulation simplifiée du mouvement brownien, par ordinateur toujours, avec un petit prog sous scilab.

Et sans doute d'autres que j'ai oublié mais voici les principales.
L'idée est tout d'abord de pouvoir respecter la démarche citée ci-dessus.

Les critères de choix sont les suivants : l'expérience choisie devra présenter un intérêt sur le plan physique et mathématique, avoir un quelconque rapport avec l'aléatoire ou le chaos (j'y tiens !), être assez facilement réalisable techniquement, et bien entendu n'être pas trop éloignée du programme du lycée.

Pensez-vous que les expériences-sujets que je propose remplissent les critères ? En voyez-vous d'autres ?

Merci à tous de l'intérêt que vous portez à mon travail !

Science
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par Science » 08 Juin 2009, 20:40

J'ai juste question Tim : ton projet a l'air très bien et c'est cool mais arriveras-tu à trouver un ou des coollègues qui accepteront sans broncher ce que tu demandes et qui pourront suivre ton rythme? parce que le TPE c'est aussin un travail d'équipe

Bastien L.
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par Bastien L. » 08 Juin 2009, 20:47

Bonsoir!


Une remarque! Je pense qu'il serait appréciable en bon scientifique que tu n'omettes pas de définir ces notions d'"aléatoire", de "hasard", etc. Ce serait probablement bien vu d'ouvrir là dessus, que ce soit en intro ou que ce soit en 1re partie, du genre concepts/histoire/étymologie. Attaquer de plein fouet un sujet aussi ardu sans l'avoir clairement défini ainsi que ses enjeux est maladroit quelle que soit la perfection de ton boulot par ailleurs, je pense. Au contraire, tu peux attaquer par un minimum de sémantique, qui dérive naturellement sur un aperçu historique, qui t'amène à tes expériences (tout cela en légèreté, sans être grandiloquent), et ainsi le lecteur est plongé dans le sujet et avide de connaissances et de calculs formels…


Pour ainsi dire, essaie à l'écrit de convaincre les exainateurs de l'intérêt voire de la nécessité de se pencher sur de telles études avant que de leurs demander de passer du temps à examiner des choses précises. Et, ainsi, tu auras aussi montré que toi tu es passionné et que tu as bien saisi les enjeux du problème. Ca peut faire la différence…

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 08 Juin 2009, 20:51

Eh oui !

En fait j'ai commencé à en parler et j'ai bien l'impression que dans mon bahut personne n'est très motivé par les math et la physique :(
Ou en tout cas pas assez pour passer ses nuits à chercher un sujet de TPE ou à bosser des trucs largement hors-programme.

D'après ce qu'ils me disent, certains futurs 1S sont peut-être intéressés mais pas réellement motivés.

Conclusion je serai sans doute obligé de faire le TPE avec quelqu'un mais il (ou elle) n'aura pas beaucoup de boulot ...

Je continue à chercher quelqu'un mais il me faudrait quelqu'un de vraiment "cool" dans le sens omnubilé des math et de la physique comme moi, et là c'est pas gagné dans le lycée !

Bastien L.
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par Bastien L. » 08 Juin 2009, 20:52

Et n'oublis pas absolument de dissocier entre le dossier écrit et la présentation à l'orale. Dans l'absolu, mieux vaut que le dossier se suffise à lui-même afin que vous puissiez vous amuser un peu (ainsi que les examinateurs) et explorer d'autres directions (stimulantes) ou réaliser essentiellement des expériences le jour de l'oral.

Éventuellement, mettre dans le dossier une phrase comme "ce problème se traite assez bien expérimentalement en faisant patati patata" de sorte à planter le terrain avant le jour J, à légitimer le passage à l'oral (pas toujours révident pour un T.P.E.…), est à mon avis une bonne chose, assez fine… Mais n'envisage pas alors de reprendre tout ton dossier à l'oral. Contente toi d'en faire un bref rappel, de demander s'il y a des questions, et d'indiquer que tu souhaites approfondir telle ou telle partie qui demande une approche expériementale. Cela fait, le temps est quasi consommé, tu passes aux questions, et voilà… ;-)

Science
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par Science » 08 Juin 2009, 20:53

Et n'oublie aps que la note du TPE c'est une note de groupe aussi...enfin dans ce genre de choses la note n'est pas la plus importante mais bon

Bastien L.
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par Bastien L. » 08 Juin 2009, 20:55

Je n'avais pas percuté… Tu es en 2de et tu comptes déjà préparer ton projet pendant les grandes vacances?

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 08 Juin 2009, 20:57

@ Bastien [message de 19h47, heure du forum] : j'ai bien entendu commencé mon avant-projet là-dessus !

Voici les éléments que je compte mettre dans ces définitions :

[font=Verdana]"Qu’appelle-t-on une suite aléatoire de nombres ?[/font]

[font=Verdana]Une suite de nombres est aléatoire si on ne peut prédire aucun de ses termes, c’est à dire si on ne peut pas établir de relation entre les différents termes ou groupes de termes. D’une manière générale, on peut dire que toute suite de nombres définie par une équation mathématique n’est pas aléatoire car elle est prévisible.[/font]


[font=Verdana][font=Verdana]Comment déterminer qu’une suite de nombres est aléatoire ?[/font]

[font=Verdana]La définition de l’aléatoire en mathématiques est des plus floues. Prenons un exemple, le nombre pi. On admettra qu’il est irrationnel, donc que la suite de nombres composée de toutes ses décimales est infinie. Les éléments de cette dite suite apparaissent-ils de manières aléatoire ? En étudiant la suite formée par les 2400 premières décimales de pi, on observe que les chiffres 0 à 9 sont équirépartis, leurs fréquences d’apparition variant entre 0,08 et 0,11. [/font]

[font=Verdana]Cela apporte-t-il pour autant la preuve que la suite présente des caractéristiques aléatoires ? Le mystère reste entier. Cependant, on peut prouver très simplement qu'une suite de nombres peut avoir des fréquences de répartitions de ses valeurs aux environs de 0,1 sans pour autant être aléatoire. [/font]

[font=Verdana]Exemple : 0,12345678901234567890... (répété une infinité de fois) n'est clairement pas une suite aléatoire, et pourtant ses fréquences correspondent aux observations faîtes avec l'étude du développement décimal de pi.[/font]

[font=Verdana]L’une des plus simple définitions de pi que l’on ait est la formule BBP, du nom de ses pères Bailey, Borwein et Plouffe. Elle permet de calculer la nième décimale de pi en base 2 ou 16, elle est donnée par la série : [/font]

[center][font=Verdana][Formule BBP][/font][/center]
[center] [/center]

[font=Verdana]Les nombreuses formules obtenues à partir de celle-là ont amené à des records. Le dernier est la détermination en 2001 du 4 000 000 milliardième chiffre de pi en base 2.[/font]

[font=Verdana]Actuellement, on ne sait pas dire si les décimales de pi sont équirépartites et plus généralement, on ne dispose pas d’un moyen à cent pour cent fiable de dire si une suite de nombre est absolument aléatoire."[/font]

[/font]
[font=Verdana]Concernant l'approche historique, on l'évoquera bien entendu dans une introduction, dans laquelle nous expliquerons aussi ce qu'est le sujet et pourquoi on a choisit cette expérience pour l'illustrer.[/font]

Bastien L.
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par Bastien L. » 08 Juin 2009, 20:59

Oki. :-) Ne sousestimez pas l'importance de cette partie. Mieux vaut convaincre de l'intérêt de l'étude avant que de débuter celle-ci…

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 08 Juin 2009, 21:01

Merci pour vos interventions !

Alors oui je suis en seconde, je songe au TPE depuis le début de l'année mais cela est plus précis depuis quelques semaines.

Pour ce qui est de la constitution du dossier, voilà comment je comptais procéder : une partie purement théorique à l'écrit, on s'appuie dessus lors du montage de l'expérience pour justifier de nos actes ; et une partie pratique, celle que l'on montre le jour de l'oral, c'est-à-dire qu'on fait l'expérience, la modélisation mathématique puis enfin on compare les résultats.

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 08 Juin 2009, 21:02

Bastien L. a écrit:Oki. :-) Ne sousestimez pas l'importance de cette partie. Mieux vaut convaincre de l'intérêt de l'étude avant que de débuter celle-ci…

Oui, on prendra ça en compte.
Encore faut-il pour le moment préciser l'objet d'étude :)

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 08 Juin 2009, 21:03

Timothé Lefebvre a écrit:@ Bastien [message de 19h47, heure du forum] : j'ai bien entendu commencé mon avant-projet là-dessus !

Voici les éléments que je compte mettre dans ces définitions :

(....)

[font=Verdana][/font]

Bonsoir,
Ce n'est certainement pas ce genre de définition que j'emploierais à ta place.
D'autre part, avant de définir l'aléatoire ou le non-aléatoire, il est préférable de l'exhiber, i.e. faire la manip. La base du raisonnement scientifique ce sont des faits. Les définitions viennent après le constat des faits.... L'inverse s'appelle un cours (mal fait).

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 08 Juin 2009, 21:05

C'est pour ça que je précise bien que ce sont des idées ;)
Là en gros j'ai posé sur papier ce que je pensais de la chose, sans avoir fait de recherches approfondies, juste pour voir ce que ça donne.

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 08 Juin 2009, 21:11

Timothé Lefebvre a écrit:C'est pour ça que je précise bien que ce sont des idées ;)
Là en gros j'ai posé sur papier ce que je pensais de la chose, sans avoir fait de recherches approfondies, juste pour voir ce que ça donne.

Ouaip... T'as raison : pose d'abord tes idées en vrac, avant de choisir un sujet (une manip) précis. Tu peux aussi attendre la publication des thèmes de TPE pour 2009-2010 au BO. ça devrait être publié dans 2 semaines à peu près....
En attendant, qq recherches biblio ne sont pas inutiles...

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 08 Juin 2009, 21:13

On s'en fiche des sujets :P
Vu qu'on peut caser le sien n'importe où !

Le problème pour l'instant est justement de choisir "l'expérience parfaite". Des idées ?

kazeriahm
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par kazeriahm » 08 Juin 2009, 22:35

Timothé Lefebvre a écrit:
[font=Verdana]"Qu’appelle-t-on une suite aléatoire de nombres ?[/font]

[font=Verdana]Une suite de nombres est aléatoire si on ne peut prédire aucun de ses termes, c’est à dire si on ne peut pas établir de relation entre les différents termes ou groupes de termes. D’une manière générale, on peut dire que toute suite de nombres définie par une équation mathématique n’est pas aléatoire car elle est prévisible.[/font]


[font=Verdana][font=Verdana]Comment déterminer qu’une suite de nombres est aléatoire ?[/font]

[font=Verdana]La définition de l’aléatoire en mathématiques est des plus floues. Prenons un exemple, le nombre pi. On admettra qu’il est irrationnel, donc que la suite de nombres composée de toutes ses décimales est infinie. Les éléments de cette dite suite apparaissent-ils de manières aléatoire ? En étudiant la suite formée par les 2400 premières décimales de pi, on observe que les chiffres 0 à 9 sont équirépartis, leurs fréquences d’apparition variant entre 0,08 et 0,11. [/font]

[font=Verdana]Cela apporte-t-il pour autant la preuve que la suite présente des caractéristiques aléatoires ? Le mystère reste entier. Cependant, on peut prouver très simplement qu'une suite de nombres peut avoir des fréquences de répartitions de ses valeurs aux environs de 0,1 sans pour autant être aléatoire. [/font]

[font=Verdana]Exemple : 0,12345678901234567890... (répété une infinité de fois) n'est clairement pas une suite aléatoire, et pourtant ses fréquences correspondent aux observations faîtes avec l'étude du développement décimal de pi.[/font]

[font=Verdana]L’une des plus simple définitions de pi que l’on ait est la formule BBP, du nom de ses pères Bailey, Borwein et Plouffe. Elle permet de calculer la nième décimale de pi en base 2 ou 16, elle est donnée par la série : [/font]

[center][font=Verdana][Formule BBP][/font]
[/center]

[font=Verdana]Les nombreuses formules obtenues à partir de celle-là ont amené à des records. Le dernier est la détermination en 2001 du 4 000 000 milliardième chiffre de pi en base 2.[/font]

[font=Verdana]Actuellement, on ne sait pas dire si les décimales de pi sont équirépartites et plus généralement, on ne dispose pas d’un moyen à cent pour cent fiable de dire si une suite de nombre est absolument aléatoire."[/font]

[/font]
[font=Verdana]Concernant l'approche historique, on l'évoquera bien entendu dans une introduction, dans laquelle nous expliquerons aussi ce qu'est le sujet et pourquoi on a choisit cette expérience pour l'illustrer.[/font]


Salut,

désolé de chipoter mais je ne suis pas d'accord avec ta définition d'une suite de nombre aléatoire. Ce n'est pas une définition mathématique rigoureuse (qu'est-ce qu'une prédiction ? ca existe mais ca utilise déjà les notions d'aléatoire, de probabilité). Je repose la question : peux-tu prévoir le terme suivant dans la suite suivante (1,2,3,4,5,....10^19) ? Non tu ne peux pas, puisque j'ai secrétement décidé que le terme en question était 0. Au sens moral du terme, cette suite n'est pas aléatoire puisque j'agis dessus de manière déterministe (c'est moi qui décide), mais pourtant, elle n'est pas prévisible, au sens où il est difficile voire impossible de coller un modèle la dessus (voir ce qu'est la régression par exemple).

Tout est question de modèle.

De manière matheuse et certes pas très en relation avec l'expérience, on définit ce qu'est une probabilité, on définit ce qu'est une variable aléatoire. Ceci fait, on se demande si une certaine suite de nombre n'est pas la réalisation d'un certain processus aléatoire, et là on sort l'armada pour trouver laquelle.

Mais encore une fois c'est un modèle, c'est-à-dire qu'on part de choses connues (les probabilités : loi gaussienne, poisson, bla bla), et on regarde si ca colle à ce qu'on observe.

Définir toutes ces notions de probabilités etc ne dit pas, en général, ce qui est aléatoire ou ce qui ne l'est pas.

On pourrait aussi se demander si une relation analytique existe entre les nombres, et plaquer un modèle pour en trouver une satisfaisante.

Je sais pas si c'est très clair, mais la question n'admet à mon avis pas de réponse simple : qu'est-ce que l'aléatoire ?

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 08 Juin 2009, 22:48

Je suis bien d'accord avec toi, mes brides d'explication n'étaient qu'intuitives.
Je pense effectivement évoquer les lois gaussienne et de Poisson etc pour parler d'aléatoire (ce qui semble indispensable).

Je pensais tomber sur quelque chose comme : il n'existe pas de moyen d'affirmer qu'une série est parfaitement aléatoire.

 

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