[TPE] Aléatoire - Chaos [math + physique]

[Nightmare]

Une démonstration d'irrationnalité de pi passant par les intégrales n'est pas compliquée, tu peux la mettre dans ton TPE, il faut juste savoir l'expliquer si on te demande.

Les profs déconseillent généralement de mettre des choses de niveau supérieur dans un TPE mais à partir du moment où l'élève est à l'aise avec ça passe très bien.

[Timothé Lefebvre]

Nan c'est bon j'ai trouvé beaucoup plus simple.

Il suffit de prouver que est transcendant, car un nombre transcendant n'est pas rationel.

Et là c'est tout simple, on utilise le théorème d'Hermite-Lindemann qui dit que si est un nombre algébrique (donc forcément non transcendant) alors est transcendant.
Or, on sait que donc est algébrique et on en déduit logiquement que et donc sont transcendants.

De plus, si est transcendant, alors il n'est pas rationel.

Ca tient la route ?

[Euler911]

Bonjour,

Encore faut-il démontrer ledit théorème... Ce qui n'est pas une mince affaire.

[SimonB]

Démontrer le théorème en question, c'est effectivement assez difficile...
Il faut faire les choses progressivement. La transcendance pré-bac, c'est irréaliste. En revanche, l'irrationnalité, pourquoi pas (c'est déjà difficile, mais bon).

[Nightmare]

Démontrer que pi est irrationnel en invoquant le fait qu'il soit transcendant c'est un peu culotté!

[Timothé Lefebvre]

Justement, je voulais prouver l'irrationnalité en passant par la transcendance. Bon, si je ne peux pas admettre le théorème je passerai par les intégrales et mon idée de méthode par l'absurde.

EDIT : c'est culotté mais bon ?

[Euler911]

La science, c'est comme le nutella.................... !!! ;-)

Plus sérieusement, mieux faut faire des choses à son niveau (ou un tout petit peu plus) et faire un travail honnête plutôt que de déballer des théories fumeuses que l'auteur n'est pas capable de comprendre raisonnablement et remplir des pages de justifications hésitantes et superflues (c'est inévitable lorsque l'on ne maitrise pas assez un sujet).

Et puis, la démonstration avec les intégrales est plutôt élégante, non?

[Nightmare]

Même passer par les intégrales c'est un peu trop. Il me semble que les TPE se font en première alors que l'intégrale est vue en terminale.

J'ai dit qu'il pouvait être bien vu de dépasser mais pas trop. Là en l'occurrence, toute la preuve d'irrationnalité est hors programme, donc autant simplement admettre cette dernière plutôt que de se lancer dans une preuve hors programme qu'on ne maîtrise pas, les examinateurs pourraient te piéger.

Pour mon TPE (sur la distance de freinage d'un véhicule) j'avais parlé de primitive, a priori rien de difficile. Seulement lorsque l'examinateur s'est tourné vers mon coéquipier, c'était le drame !

[nuage]

...
En sachant ça, je pense qu’il est théoriquement impossible de prouver que les chiffres de la partie décimale sont équirépartis

je crois que c'est démontré, mais je me trompe peut-être.

En ayant cette hypothèse, il me semble clair que la définition du terme “aléatoire” est assez vague. Quand juge-t-on d’une suite de nombres qu’elle est aléatoire ?
D’après mes premières recherches, on dit qu’une séquence de nombres est aléatoire lorsqu’on ne peut pas en tirer “facilement” des propriétés déterministes.
[\quote]
C'est un peu vrai, mais insuffisant : par exemples les décimales de ne sont pas aléatoires. Tu peux faire les calculs comme tu veux mais la première décimale de est 1.
Maintenant si tu veux parier sur la décimale numéro
tu peux tirer un chiffre au hasard (ou la calculer mais c'est plus difficile).
Alors que je parie que la décimale numéro de \frac{2009}{11} est 3 (presque) sans risque d'erreur.

La meilleure façon d’obtenir une suite aléatoire de nos jours resterait la méthode physique, profitant du caractère a priori aléatoire de certains phénomènes physiques (on peut par exemple citer le mouvement brownien).

C'est la seule que je connaisse. Tu peux voir ici le message numéro 12 de quidam

Sinon, de manière moins précise on peut comparer les fréquences d’apparition des chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. On prend les 2400 premières décimales de .
Si la suite était aléatoire, on aurait logiquement une fréquence d’apparition pour chaque chiffre variant aux alentours de 0,1. Il se trouve que celles-ci varient entre 0,11 (pour le chiffre 9) et 0,08 (pour le chiffre 0).
Bien sûr cette observation ne permet pas d’affirmer que la suite est aléatoire, même si toutefois elle semble l’être (à la vue de la distribution des fréquences sur les 2400 premières décimales).

Ma question est donc la suivante : cette suite est-elle vraiment aléatoire ? Existe-t-il une démonstration de cette réponse ?

Cette suite n'est pas aléatoire.

D’autre part, une observation sur les systèmes générateurs de nombres aléatoires. Ne disposant pas d’une définition précise de ce qu’est l’aléatoire, comment peut-on programmer de telles machines ? Peut-on déduire de ce fait que les suites générées par ces outils ne sont pas vraiment aléatoires ? Sauriez-vous comment sont programmées ces machines ?

il est évident qu'aucun programme ne peut produire des nombres aléatoires. Les fonctions dédiées à ce genre de choses produisent des nombres pseudo-alétaoires de qui est en général suffisant.

Le meilleur outil de génération de suites aléatoires ne reste-t-il pas la nature ?

C'est , pour autant que je sache, le seul.

[Timothé Lefebvre]

Merci Euler911 de ta participation aux échanges. Ton avis me sera sans doute très bénéfique. Je crois que tu n'as pas bien compris mon problème. Il y a des TPE en Belgique ?

Nightmare, je pense que je vais demandé conseil à mon prof de maths sur le fait de devoir ou non admettre l'irrationnalité de .

[Euler911]

Je crois que tu n'as pas bien compris mon problème.

Ah? Ne recherches-tu pas, pour l'instant, une démonstration de l'irrationalité de pi?

Il y a des TPE en Belgique ?

Non. Du moins, pas en 5e. Dans certaines écoles, la tradition veut que les rhétoriciens fassent un travaille de fin d'études sur un sujet donné. Ce travail est généralement mis à l'écrit puis défendu à l'oral.
Il s'agit bien du TPE français, ou je me trompe?

[Dominique Lefebvre]

j'ai quand-même lu des articles de vulgarisation. La décohérence c'est quand une particule perd son état quantique parce qu'elle a fait l'objet par exemple d'une mesure (l'élément utilisé pour la mesure ayant impacté la particule).

Bonsoir,
Ainsi donc, si j'en crois ce que je lis, un objet quantique perdrait "son état quantique" lorsqu'il fait l'objet d'une mesure....
Imaginons donc un électron, objet quantique par excellence, et mesurons sa vitesse. Mince, il perd son état quantique! Pour devenir quoi?
Sais-tu pourquoi on parle de "décohérence" et surtout de quelle décohérence il s'agit? La décohérence de quoi?
Je ne suis pas sur que tu aies lu à fond les articles de vulgarisation en question. Mais bon, si ça t'intéresses, on peut discuter de ce qu'est la décohérence, plus précisement la théorie de la décohérence, et même de son intervention dans la réalisation d'un ordinateur quantique. Parce que c'est un des obstacles majeurs à la réalisation d'un ordinateur quantique....

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir,

Excusez moi de mettre les pieds dans le plat et de descendre le niveau de ces grandes envolées sur pi, mais il semble qu'il est question d'un TPE de première S, qui selon l'aveu même de Tim doit être interdisciplinaire. Il me semble que Tim incline plutôt vers MP, et donc que l'interdisciplinarité sera entre math et physique..; Vrai ou Faux?

J'ai un peu de mal de voir l'aspect physique dans la démonstration de l'irrationalité de pi... Mais c'est sans doute que je ne suis pas un grand physicien :-))

Plus sérieusement, il me semble aussi qu'un TPE doit s'appuyer sur le programme pour l'élargir et aussi comporter un aspect expérimental. Vrai ou Faux?

Je propose donc de redescendre sur Terre. L'idée initiale de lier l'aléatoire mathématique et physique est sans doute bonne. On peut aussi aborder le chaos, qui se prête bien au jeu de l'interdisciplinarité. Et ces deux voies de réflexion présentent l'avantage d'une approche expérimentale aisée.

Ah oui, une dernière chose. Comme l'a souligné Euler911 et d'autres, il faut être capable d'expliquer clairement son TPE. Et c'est loin d'être évident... Alors autant rester simple!

[Nightmare]

L'étude du mouvement Brownien pourrait être intéressante aussi.

[Dominique Lefebvre]

L'étude du mouvement Brownien pourrait être intéressante aussi.

Absolument !! C'est l'idée que j'ai proposé en premier à Tim, mais sans grand succés. Et pourtant... Assez facile à aborder, manip facile, modélisation à plusieurs niveaux (même quantique :ptdr: ), simulation possible, belles mathématiques pour tous les niveaux...

[Nightmare]

Le problème c'est que les notions d'aléatoire sont très mal définies au lycée. Même les probas, les élèves savent calculer des probas élémentaires mais ne savent pas vraiment ce qu'est une probabilité sur un univers.

Il faut donc savoir ce que veut faire Timothé, un TPE sur la notion d'aléatoire ou sur un phénomène aléatoire précis?

[kazeriahm]

je ne veux pas m'immiscer mais le mouvement brownien d'un point de vue matheux est plus dur à formaliser que le fait que pi soit irrationnel !

le mouvement brownien est vu en M2 à la fac non ? ou bien en M1 dans certaines ?

[kazeriahm]

Le problème c'est que les notions d'aléatoire sont très mal définies au lycée. Même les probas, les élèves savent calculer des probas élémentaires mais ne savent pas vraiment ce qu'est une probabilité sur un univers.

Il faut donc savoir ce que veut faire Timothé, un TPE sur la notion d'aléatoire ou sur un phénomène aléatoire précis?

tu fais des additions tous les jours sans forcément utiliser l'axiomatique de Peano non ?

[Nightmare]

Tu compares une addition à un calcul de probabilité, vraiment?

[Timothé Lefebvre]

@ Domi : mais non justement je t'ai dit que je voulais aussi traiter du mouvement brownien dans la partie physique ! J'avais dans l'idée de faire au moins deux grandes parties : l'aléatoire dans les maths et dans la physique.

Je voulais démontrer que était irrationnel pour justifier qu'il avait un partie décimale infinie et ensuite se demander si celle-ci était une suite aléatoire de chiffres ou pas, mais visiblement ça ne sert à rien.

On peut modéliser le mouvement brownien relativement simplement avec quelques manip' non ?

@ Nightmare : l'idée de base est un TPE sur la notion d'aléatoire.