Je mintéresse en ce moment à certains nombres, et en particulier
.Les données sont les suivantes :
est un nombre irrationnel, et transcendant. La partie décimale de est donc infinie.En sachant ça, je pense quil est théoriquement impossible de prouver que les chiffres de la partie décimale sont équirépartis c'est à dire qu'on a plus de chances de rencontrer l'un que l'autre (comme la lettre e de l'alphabet qui a une fréquence d'apparition d'environ 17 %), donc on ne pourrait pas prouver que la partie décimale de
est une suite aléatoire de chiffres.En ayant cette hypothèse, il me semble clair que la définition du terme aléatoire est assez vague. Quand juge-t-on dune suite de nombres quelle est aléatoire ?
Daprès mes premières recherches, on dit quune séquence de nombres est aléatoire lorsquon ne peut pas en tirer facilement des propriétés déterministes.
La meilleure façon dobtenir une suite aléatoire de nos jours resterait la méthode physique, profitant du caractère a priori aléatoire de certains phénomènes physiques (on peut par exemple citer le mouvement brownien).
Sinon, de manière moins précise on peut comparer les fréquences dapparition des chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. On prend les 2400 premières décimales de
. Si la suite était aléatoire, on aurait logiquement une fréquence dapparition pour chaque chiffre variant aux alentours de 0,1. Il se trouve que celles-ci varient entre 0,11 (pour le chiffre 9) et 0,08 (pour le chiffre 0).
Bien sûr cette observation ne permet pas daffirmer que la suite est aléatoire, même si toutefois elle semble lêtre (à la vue de la distribution des fréquences sur les 2400 premières décimales).
Ma question est donc la suivante : cette suite est-elle vraiment aléatoire ? Existe-t-il une démonstration de cette réponse ?
Il en va de même pour beaucoup dautres nombres :
, 
etc
Dautre part, une observation sur les systèmes générateurs de nombres aléatoires. Ne disposant pas dune définition précise de ce quest laléatoire, comment peut-on programmer de telles machines ? Peut-on déduire de ce fait que les suites générées par ces outils ne sont pas vraiment aléatoires ? Sauriez-vous comment sont programmées ces machines ?
Le meilleur outil de génération de suites aléatoires ne reste-t-il pas la nature ? En effet on peut penser que celle-ci laisse faire le hasard, et quaucun phénomène nintervient par exemple dans le mouvement brownien que je citais tout à lheure. La molécule immergée dans un fluide nest soumise à aucune autre interaction que les chocs avec les autres molécules quelle rencontre.
De ce fait, ne peut-on pas considérer la nature comme notre meilleure définition de ce que serait laléatoire parfait ?
Je vous remercie de m'avoir lu et vous souhaite une bonne fin de journée !
Tim
EDIT : promis je ne change plus le titre après ça
