Aire d'un rectangle

[Anonyme]

Bonjour,

Aujourd'hui je me suis demander pourquoi l'aire d'un rectangle est égale a longueur*largeur ?

Y aurait-il une démonstration ?

[Ben314]

Salut,
Comme d'habitude, tout est un problème de définition : si tu m'explique comment tu définis dans le cas général l'aire d'une partie du plan, je pourrait (peut-être) te donner une preuve que l'aire d'un rectangle est bien Largeur*Longueur.

Pas de définition = Pas de démonstrations !

Pour moi, cette relation est trés proche de ce que je donnerais comme définition du produit de deux nombres entiers dans le primaire : 6x7 c'est (définition) le nombre de petit carreaux qu'il y a dans un rectangle de 6 carreaux de long sur 7 carreaux de large : cette définition permet de "visualiser" les regles ab=ba ; a(b+c)=ab+ac ; (a+b)²=a²+2ab+b² ; (a+b)(a-b)=a²-b² à l'aide de petits dessins.

[Anonyme]

Comme définition je pourrait donner : C'est le nombre de carre de 1m de cote que l'on peut paver dans le rectangle.

C'est bon comme définition ?

[Anonyme]

Quand les cotes du rectangles sont rationnels je pense que je peux m'en sortir avec la démonstration. Par contre quand les cotes sont irrationnel j'arrive pas a démontrer la formule.

[Ben314]

Ben,... faut aussi dire que ta définition, dans le cas où on n'arrive pas à faire rentrer "pile poil" un certain nombre de carrés de coté 1 dans le truc dont on doit mesurer l'aire, elle n'est pas super précise...

On peut quand même faire des "preuves" en partant de cette définitionà condition d'admetre que :

1) L'aire d'une réunion de deux trucs disjoints est la somme des deux aires.
[avec ça tu doit effectivement arriver à montrer que ta formule marche pour des rectangles à cotés rationnels]

2) Si un truc est contenu dans un bidule, alors la surface de truc est plus petite que celle de bidule.
[avec ça, tu termine ta preuve dans le cas irrationnel en considérant les rectangles à cotés rationnels contenus dans [respectivement contenant] le rectangle de départ]

[Anonyme]

Ben,... faut aussi dire que ta définition, dans le cas où on n'arrive pas à faire rentrer "pile poil" un certain nombre de carrés de coté 1 dans le truc dont on doit mesurer l'aire, elle n'est pas super précise...

J'ai pas tres bien compris ta remarque un exemple peut être ?
Quel définition proposes-tu alors a la notion d'aire ?

1) L'aire d'une réunion de deux trucs disjoints est la somme des deux aires.
[avec ça tu doit effectivement arriver à montrer que ta formule marche pour des rectangles à cotés rationnels]

C'est ce que j'ai fait

2) Si un truc est contenu dans un bidule, alors la surface de truc est plus petite que celle de bidule.
[avec ça, tu termine ta preuve dans le cas irrationnel en considérant les rectangles à cotés rationnels contenus dans [respectivement contenant] le rectangle de départ]

J'avais eu la même idée mais j'ai pas reussi.
Pourrais tu m'indiquer les grandes lignes de la demo ?

[ffpower]

Eh bien si on prend par exemple un carré 1.5m*1.5m, on ne peut pas le paver avec des carrés de 1m*1m

[Finrod]

En passant par la théorie de l'intégration de Lebesgue, on a les définitions les plus rigoureuses.

A l'oral de l'agreg, j'avais démontré que le volume d'un hypercube (enfin, d'un hyperrectangle) était la valeur absolue du déterminant des n vecteurs d'origine O définissant ses côtés.

evidemment, j'ai oublié maintenant.

Mais bon, yavais une histoire de petits cube à un moment.