Abelianisation

[Finrod]

Bonjour,

Dans son article sur la cohomologie des anneaux,Quillen affirme qu'il est trés facile de vérifier que pour un morphisme d'anneau , il y a une équivalence de catégorie entre la catégorie des B-modules et la catégorie des objets en groupes abéliens dans les A-algèbres au dessus de B.

L'équivalence étant donné par le foncteur de B-mod dans qui à un module M associe muni du produit :

(b1,m1).(b2,m2)=(b1b2,b1m2+b2m1)

je comprend mal ce que sont les objets en groupes abéliens dans A-alg/B et la question parait alors bien moins évidente.

Si ça interresse quelqu'un,n'hésitez pas à me faire signe.

Bonne soirée à tous.

[Finrod]

En fait c'est pas très dur, j'avais oublié que les produits dans A-alg/B sont des produits fibrés au dessus de B. La pleine fidélité est quasi immédiate et l'essentielle surjectivité s'obtient par une suites exacte courte.