0,9999... = 1

[Archytas]

Pas que de toi, c'est une question récurrente ici :lol3: (et je reconnais que ce n'est pas infondé).
Si tu aimes tenter de prouver que des choses vraies sont fausses ou vice versa, tu peux regarder du côté de la quadrature du cercle, ou de la trisection de l'angle :ptdr:

Je n'ai jamais tapé dans ces problèmes, mais j'ai ouïe dire qu'ils étaient insolubles, non ? Enfin ces deux problèmes doivent très bien se résoudre avec une caltos :ptdr:

[vincentroumezy]

Oui, ils sont insolubles si on s'aide seulement d'une règle non graduée et d'un compas.

[Arnaud-29-31]

Pour le paradoxe de Zénon illustré avec Achille et la tortue, on a bien une somme infinie de temps égale au temps nécessaire pour qu'Achille rattrape sa tortue. Tu feras le chapitre sur les séries en deuxième année et tu verras qu'une somme infinie peut converger vers un nombre finie. (Déjà surement vu d'ailleurs pour le cas particulier de la somme des termes d'une suite géométrique de raison < 1 et c'est d'ailleurs aussi simplement que se résout cette illustration du paradoxe de Zénon)

Chuuut silence sur la quadrature du cercle, on risquerait de voir débarquer un membre qui affirme avoir trouvé la dernière décimale de :hein:

[Archytas]

Pour le paradoxe de zénon illustré avec Achille et la tortue, on a bien une somme infinie de temps égale au temps nécessaire pour qu'Achille rattrape sa tortue. Tu feras le chapitre sur les séries en deuxième année et tu verras qu'une somme infinie peut converger vers un nombre finie. (Déjà surement vu d'ailleurs pour le cas particulier de la somme des termes d'une suite géométrique de raison < 1)

Chuuut silence sur la quadrature du cercle, on risquerait de voir débarquer un membre qui affirme avoir trouvé la dernière décimale de :hein:

En tout cas la dernière de 0.999999... est connue (oulala le sujet hypeeeeer polémique hahaha) !

Chuuut silence sur la quadrature du cercle, on risquerait de voir débarquer un membre qui affirme avoir trouvé la dernière décimale de :hein:

On devrait pouvoir la trouver étant donné que Pi est une fraction de deux entiers haha

[kazeriahm]

On devrait pouvoir la trouver étant donné que Pi est une fraction de deux entiers haha

Attention 0,9999.... aussi est fraction de deux entiers mais quel est sa "dernière décimale" ?

[Archytas]

Attention 0,9999.... aussi est fraction de deux entiers mais quel est sa "dernière décimale" ?

Faudrait déjà qu'il y en ai une ^^ ! Et c'est une fraction de deux entier infinis et à ce titre pi en est une aussi alors : haha (=

[vincentroumezy]

entier infinis

C'est quoi cette bestiole ?
La dernière décimale de 0,99.. c'est 0, car 0,99..=1,0.

[Archytas]

C'est quoi cette bestiole ?
La dernière décimale de 0,99.. c'est 0, car 0,99..=1,0.

Haha ouais, bon x] bah c'est l'infini pardi ! "Archytas vous n'êtes pas rigoureux !" je le sens d'ici !

[vincentroumezy]

L'infini c'est pas un entier, c'est même pas un réel.

[Archytas]

L'infini c'est pas un entier, c'est même pas un réel.

Oui c'était une blague justement j'ai dis que si ça marchait bah pi était une fraction de deux entiers ce qui est assez ... dérangeant :we: !

[vincentroumezy]

Ok (c'est vrai que pi est franchement irrationnel).

[Archytas]

Ok (c'est vrai que pi est franchement irrationnel).

Il nous transcende même je dirais :ptdr: !

[Anonyme]

Bonjour
J'ai 2 questions qui ne concernent pas les notations ou utilisées dans les calculs de limite mais qui sont relatives aux nombres tels que et exp(1)

- Est ce qu'au lycée on explique ce qu'est un nombre transcendant ?
et
- Est ce que la notion de fraction continue est enseignée au lycée ? (ou en faculté)

[Sylviel]

La réponse est clairement non dans les deux cas. Sauf éventuellement à titre de culture générale.

Je pense même qu'une partie des élèves de prépas ne savent pas ce qu'est un nombre transcendant. Et les fractions continues sont parfois vaguement utilisées dans des exercices sur les suites définies par réccurrence.

[Anonyme]

@Sylviel

Question 1 : Et en faculté ? ( niveau licence ? ou master ? )

Question 2 : Quelle est la définition au lycée d'un nombre irrationnel ?

[kazeriahm]

@Sylviel

Question 1 : Et en faculté ? ( niveau licence ? ou master ? )

Question 2 : Quelle est la définition au lycée d'un nombre irrationnel ?

Ca dépend des licences, certaines n'abordent jamais la notion de nombre transcendant explicitement dans leur programme, mais globalement dès la seconde (enfin dès qu'on sait ce qu'est un polynome), on est en mesure de comprendre la définition.

Sinon la définition d'un nombre irrationnel est la même au lycée qu'au collège, qu'en primaire ou qu'en master. La notion de nombre irrationnel est invariante dans le temps.

[Nightmare]

Hello,

je pense que pour bien comprendre pourquoi l'on peut écrire que 0,99...=1, il faut revoir sa conception des réels.

Précisément, il faut se dire qu'en fait les réels on ne les connait pas. On sait ce qu'est un entier, plus ou moins ce qu'est un rationnel, mais quand on parle d'un nombre réel quelconque, le meilleur moyen de s'en faire une idée, c'est de l'approcher. C'est d'ailleurs par cette notion d'approximation qu'on peut définir les nombres réels.

Aussi, même si ça semble naturel de vouloir "symboliser" un nombre réel, au final on aura beau lui donner le nom qu'on veut, pour savoir qui il est vraiment on ne pourra que se contenter de trouver des suites qui l'approchent, et si possible des suites de rationnels, nombres qu'on connait mieux.

Avec cette vision, un nombre réel n'est donc qu'une limite de suite (de rationnels). Pour représenter un nombre réel, il semble alors assez naturel de le représenter par des suites qui l'approchent. Mais on sait que pour une valeur limite donnée, on aura une infinité de suites qui convergent vers cette valeur, donc donner une représentation canonique d'un nombre réel par les suites risque d'être problématique puisque cette représentation serait loin d'être unique, mais heureusement, l'homme a dix doigts et a de fait créé ce qu'il appelle le système décimal, c'est à dire la représentation des entiers en paquets de 10.

C'est ce système décimal (qui aurait pu être binaire si on avait eu que deux doigts) qui va être la base de notre système de représentation des nombres, en essayant de trouver des suites convergentes qui s'expriment simplement dans ce système.

Cela a donné la notion de développement décimal : Un développement décimal d'un réel est une suite qui converge vers ce réel (modulo sa partie entière) et qui s'écrit sous une forme particulière dont l'écriture est pratique dans le système décimal, précisément c'est une suite de termes de la forme , qu'on représente alors dans notre système décimal simplement par .

Mais le problème n'est pas tout à fait réglé, car si l'on prouve qu'effectivement tout réel va avoir un développement décimal, on a toujours pas l'unicité, en tout cas pas pour tous les nombres. Mais ce n'est plus vraiment dérangeant, car même si on a encore deux suites qui convergent vers notre réel et nous empêche donc d'en avoir une représentation unique, on a tout de même une représentation pratique qui nous donne "suffisamment" d'informations sur ce réel. On a l'habitude de toute manière de travailler avec des nombres qui n'ont pas une écriture unique, les rationnels en particulier.

Bref, tout ce qu'il faut se dire pour ne pas se prendre la tête, c'est qu'un réel et plus généralement un objet en mathématique aura rarement une écriture unique, souvent dû au fait que pour définir quelque chose en mathématique, on le définit par des propriétés qu'il vérifie, et il n'est pas rares que plusieurs propriétés a priori indépendantes définissent tout de même le même objet.

[Sylviel]

edit : je répondais à kaza, avant le (très bon) post de Night ^^.

J'ajouterais juste qu'une propriété est souvent évoquée au collège (je ne sais pas si elle est au programme ou pas) qui consiste à dire qu'un nombre rationnel fini par avoir une périodicité dans son développement décimal. Donc un nombre qui n'a pas ça est irrationnel...

[Anonyme]

Sinon la définition d'un nombre irrationnel est la même au lycée qu'au collège, qu'en primaire ou qu'en master. La notion de nombre irrationnel est invariante dans le temps.

Est ce que cette défintion est : un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel,
c'est-à-dire une fraction avec et ?

Si oui comment définit on un nombre réel au lycée ?

Edit
J'espère que ce n'est pas les explications données par Nightmare... car il faut introduire la notion de suites adjacentes ( qui est hors programme en classe de Terminale depuis cette année )

[Sylviel]

La construction des nombres réels n'est pas abordé avant la licence, et nombre de gens passent à côté durant leur scolarité. Nightmare vient de faire un post où il évoque l'idée centrale : les réels c'est les limites de suites de rationnels.