0,9999... = 1

[Archytas]

Ce qu'est marrant aussi c'est la différence 1-0,999999999...
C'est quand même pas 0,0000 .... 00001 ?! :langue:

Peut-on dire pour autant que ça fait 0. ? Arf mes neurones font la grève bonne nuit !

[beagle]

Ce qu'est marrant aussi c'est la différence 1-0,999999999...
C'est quand même pas 0,0000 .... 00001 ?! :langue:

Quand un sujet a déjà été débattu à plusieurs reprises sur le forum,
et que les refs sont données en début de fil,
l'idéal est d'aller lire un minimum.
Donc Archytas, il n' y a pas différents avis des mathématiciens, les mathématiciens sont d'accord sur le sujet.Et ils proposent diverses approches dans dans les démonstrations.Mais démonstrations cohérentes il y a.(qs Arnaud )

Un truc "simple" que perso j'aime bien car cela ne nécessite pas grande connaissance en maths est de dire que s'il s'agissait de deux nombres différents, alors on pourrait trouver d'autres nombres entre les deux, ne serait-ce que la somme des deux divisée par deux.
Or jamais on ne pourra trouver un nombre entre 1 et 0,9999999... car il suffirait de repousser les 9 un peu plus loin.
et c'est idem à ce que propose Oktave en faisant la différence, dès que un 1 serait posé après la virgule, il serait possible de dire qu'il n'est pas à sa place, c'est un peu la mème vision.

Mais lisez les fils existants!

[Archytas]

Un truc "simple" que perso j'aime bien car cela ne nécessite pas grande connaissance en maths est de dire que s'il s'agissait de deux nombres différents, alors on pourrait trouver d'autres nombres entre les deux, ne serait-ce que la somme des deux divisée par deux.
Or jamais on ne pourra trouver un nombre entre 1 et 0,9999999... car il suffirait de repousser les 9 un peu plus loin.

Dans ce cas tu ne te places plus dans les réels mais dans les "surréels" de Conway justement d'après lui ces deux nombres sont différents. C'est vrai que je ne maitrise pas le sujet mais il me semble que c'est l'idée de son ensemble...
Mais bon puisqu'un millier de sujets existent déjà le débat n'est pas permit, bonne continuation alors !

[vincentroumezy]

En maths, y a pas de "débats". soit un truc est juste et on le prouve, soit il est faux, et on le prouve.
Il est prouvé que 0,999999999999999999999...=1, et voilà.

[Archytas]

En maths, y a pas de "débats". soit un truc est juste et on le prouve, soit il est faux, et on le prouve.
Il est prouvé que 0,999999999999999999999...=1, et voilà.

Justement c'est de la justesse de la démonstration dont il est question... 4*0=3*0 on divise par 0 4=3 voilà c'est prouvé... donc s'il y a une faille dans les démonstrations qui reposent toutes sur la même articulation elles sont fausses. La question est de savoir si on peut manipuler des écritures décimales infinies. Je ne dis pas que c'est faux je dis seulement qu'il y a matière à douter. Je trouve que les arguments sont vraiment crédibles des deux cotés et les démonstrations je les trouve "bancales" enfin bref vous devez avoir raison, j'abdique ^^ !

[beagle]

salut Archytas,
pas de soucis pour dialoguer dès lors que c'est argumenté.

Ma réflexion sur la lecture des fils antérieurs est lié à ceci:
ce sujet revient souvent, on le comprend bien d'ailleurs, il y a matière à surprise.
mais cela signifie que les pointures du site, dont je ne fais pas partie, ne répondent pas de façon détaillée à tous les fils de ce mème sujet.
c'est là que je dis , relisez les autres fils.
Ce n'est pas pour fermer le fil.

je suis d'accord avec toi sur les démonstrations qui peuvent ne rien démontrer.
Mais accepter 0,999... comme une autre écriture du 1 parce que des démonstrations sérieuses y aboutissent, ce n'est pas accepter les démonstrations foireuses qui arrivent au résultat également.
Mais c'est à discuter au niveau de la démonstration proposée.

Par exemple je ne connais rien aux nombres p-adiques, mais le peu que j'ai vu passer, me fait rendre très prudent comme tu le dis de multiplier, additionner, soustraire les chiffres après la virgule qui n'en finissent pas.

ensuite lorsque tu relances en disant que dans un cadre plus large Conway fais une différence entre ces deux écritures, entre ces deux nombres alors?, c'est intéressant, et tu apportes en argumentant.
c'est très bien.
Et si nos pointures peuvent te répondre sur ce point, cela sera bien.

[Archytas]

Par exemple je ne connais rien aux nombres p-adiques, mais le peu que j'ai vu passer, me fait rendre très prudent comme tu le dis de multiplier, additionner, soustraire les chiffres après la virgule qui n'en finissent pas.

Et bien justement, n'y a-t-il pas une règle mathématique qui dit qu'on peut ou non manipuler ce genre d'écriture aussi naturellement que les écritures finies ? Mon prof de l'année dernière (le même qui m'a dit qu'un nombre a une seule écriture décimale) m'a dit de me reporter pour de plus amples précisions à un chapitre de maths sup appelé "calcul infinitésimal" con comme mes pieds ou pas assez savant j'ai rien compris à ce chapitre et je n'ai surtout pas vu en quoi ça pouvait m'aider dans notre problème. Cette règle mathématique si elle existe réglerait tout simplement la question : oui on peut alors les démonstrations sont justes, non on ne peut pas alors les démonstrations reposent sur quelque chose de faux et c'est finit aussi ^^ !

[Monsieur23]

Et bien justement, n'y a-t-il pas une règle mathématique qui dit qu'on peut ou non manipuler ce genre d'écriture aussi naturellement que les écritures finies ? Mon prof de l'année dernière (le même qui m'a dit qu'un nombre a une seule écriture décimale) m'a dit de me reporter pour de plus amples précisions à un chapitre de maths sup appelé "calcul infinitésimal" con comme mes pieds ou pas assez savant j'ai rien compris à ce chapitre et je n'ai surtout pas vu en quoi ça pouvait m'aider dans notre problème. Cette règle mathématique si elle existe réglerait tout simplement la question : oui on peut alors les démonstrations sont justes, non on ne peut pas alors les démonstrations reposent sur quelque chose de faux et c'est finit aussi ^^ !

Aloha,

C'est juste faux de dire que tout nombre a un unique développement décimal (la preuve avec 1 et 0.999...)

Ton prof de maths est un rigolo.

[Sylviel]

Juste : c'est faut de dire qu'un nombre à une seule écriture. En effet il existe parfois un développement décimal impropre.

Pour manipuler ces écritures il suffit de manipuler les séries qui y correspondent, et les règles de calculs sont très bien définies pour ça.

[Deliantha]

Juste : c'est faux de dire qu'un nombre à une seule écriture. En effet il existe parfois un développement décimal impropre.

Pour manipuler ces écritures il suffit de manipuler les séries qui y correspondent, et les règles de calculs sont très bien définies pour ça.

La définition suivante est celle-ci: un développement décimal a0, b1b2...(admettant une limite dans ) est impropre s’il existe k tel que : ; dans le cas contraire il est dit propre.

Remarque : Il y a des fautes de syntaxe outre celles de grammaire et de sémantiques trouvées faisant mal aux yeux (ne m'en veux pas de te corriger sur ce que je vois au petit bonheur, la chance ^^).

[Archytas]

Aloha,

C'est juste faux de dire que tout nombre a un unique développement décimal (la preuve avec 1 et 0.999...)

Ton prof de maths est un rigolo.

Très bien, c'est ce que je voulais savoir, merci ! Mais il y a un autre problème (haha je suis chiant je sais) : Dire que 0.9999999...=1 ça revient à dire que , non ? Parce que ça serait génant ! Si la borne inférieure est égale à 1 y a pas de raison pour la borne supérieure, où est l'erreur ?

[Sylviel]

Heu... je ne vois absolument pas le rapport entre tes limites et la discussion précédente ?

[Archytas]

Heu... je ne vois absolument pas le rapport entre tes limites et la discussion précédente ?

0.99999... est aussi la valeur de la limite x x quand il tend vers 1.

[vincentroumezy]

Pour répondre à un de tes posts plus haut: il est bien naturel de s'interroger sur les démonstrations foireuses de ce fait, mais il existe des démonstrations rigoureuses que 0,999..=1 (par exemple

[Archytas]

Pour répondre à un de tes posts plus haut: il est bien naturel de s'interroger sur les démonstrations foireuses de ce fait, mais il existe des démonstrations rigoureuses que 0,999..=1 (par exemple

C'est encore du même type que les autres puisque tu dis que lim 1/10^n =0et je suis bien d'accord mais rigoureusement parlant ça ne s'annule jamais et tu ne fais qu'écrire 0.9999...=0.99999... ! Mais si vous m'assurez que c'est la même chose alors d'accord de toute façon je n'ai pas le niveau pour avoir des arguments très solides mais ça me semble tellement étrange :hum: ...

[Sylviel]

Oui puisque 1 = 0.999...

Et ?

Tu veux déduire de et que +oo = - oo :triste:

[vincentroumezy]

tu dis que lim 1/10^n =0et je suis bien d'accord mais rigoureusement parlant ça ne s'annule jamais

Ce n'est pas moi qui le dit c'est vrai. Cette limite est rigoureusement égale à 0.
On peut le démontrer d'ailleurs, en revenant à la définition, la suite (u(n)) tend vers 0 équivaut à .

[Sylviel]

Ce n'est pas moi qui le dit c'est vrai. Cette limite est rigoureusement égale à 0.
On peut le démontrer d'ailleurs, en revenant à la définition, la suite (u(n)) tend vers 0 équivaut à .

J'ajouterais même qu'on a l'impression que tu confonds limite et valeur de la suite pour n très grand. La limite c'est la limite, pas une valeur de la suite... Par exemple 1/n ne s'annule jamais, mais c'est limite c'est 0. Toutes les valeurs de la suite sont strictement positive, pas la limite.

[vincentroumezy]

Il est vrai que la notion de limite est difficile à appréhender quand on la rencontre.