Bonjour
Soit
et
son orthogonal.
Si on transpose l'hypothèse on a aussi
donc
Mais ker A^t et Ker A ayant la même dimension, on en déduit que
Mais alors cela implique aussi
Les sous espaces
et
sont donc stables par
et
La restriction de A à
est donc nulle (i.e
) et est donc diagonalisable.
On est donc ramené à étudier la diagonalisation de la restriction de A à
ce qui revient à supposer maintenant que 0 n'est pas valeur propre de A.
Soit donc
une valeur propre de A et X un vecteur propre associé.
On a
donc
est une v.p de
et cela implique que
puisque
est symétrique réelle.
Mais
implique
Donc
est aussi une v.p de
Il est bien connu que les v.p de
sont aussi les valeurs propres de
.
Ainsi, on obtient que
une v.p de A pour tout p. Ce qui n'est possible que si |z|=1.
De plus, comme
est réel,
Les seules v.p possibles de A sont les racines cubiques de 1 où de -1. Mais les seules v.p possible de
sont
En particulier on a
Comme le polynôme annulateur de A,
est scindé sur
alors A est diagonalisable sur