Démontrer que Béta est injective et surjective

[cpS]

jour,

Voici l'énoncé:
Soient A et B deux parties d'un ensemble E, on définit l'application Béta de P(E) dans le produit cartésien P(A)xP(B) par:
Pour tout x € P(E), Béta = (XnA, XnB) [n pour inter]

==> déterminer les couples images de Béta de E, de "ensemble vide", de Abarre et de AUB
==> j'ai montré que selon les résultats que l'on obtenait, Béta n'est pas injective.
Mais ils me demandent de donner une condition nécessaire pour que Béta soit injective.

J'ai pensé à ça:
il faut que X € A et que X € B ==> Est-ce correcte? existe-t-il une autre condition?

Vous en remerciant par avance pour tout conseil apporté

[arnaud32]

considere C=E\(AUB)
que vaut beta(C)?

[cpS]

considere C=E\(AUB)
que vaut beta(C)?

le couple : (ensemble vide, ensemble vide)

Mais comment avez vous pu trouver comme ça cette ensemble?

[WhiteShadow]

A mon avis ta solution est suffisante, mais pas nécessaire. Je n'y ai réfléchis qu'un tout petit coup, donc excuse-moi si je fais une erreur, mais je te propose de raisonner de la façon suivante:

Tu divise les éléments de X en quatre catégorie: 1) les éléments qui sont ni dans A ni dans B, 2) les éléments qui ne sont que dans A, 3) les éléments qui ne sont que dans B et 4) les éléments qui sont dans A et B. Ca donne:

, si tu comprends la logique.

Ainsi tu as:

Qu'est-ce qu'il se passe quand tu ajoutes ou supprimes un des éléments de la forme ? Et un de la forme ? Et un de la forme...

[arnaud32]

tu fixes X et que tu regardes et
a les memes traces que X sur A et B
pour que beta soit injective il faut que Y soit X

[arnaud32]

A mon avis ta solution est suffisante, mais pas nécessaire. Je n'y ai réfléchis qu'un tout petit coup, donc excuse-moi si je fais une erreur, mais je te propose de raisonner de la façon suivante:

Tu divise les éléments de X en quatre catégorie: 1) les éléments qui sont ni dans A ni dans B, 2) les éléments qui ne sont que dans A, 3) les éléments qui ne sont que dans B et 4) les éléments qui sont dans A et B. Ca donne:

, si tu comprends la logique.

Ainsi tu as:

Maintenant, si tu enlèves ou rajoute des éléments de la forme dans X (on appelle le nouvel ensemble X1), tu as bêta(X)=bêta(X1). Donc bêta n'est pas injective.

Par contre, dès que tu modifies un seul élément de A ou B, ton bêta(X) change. Donc à mon avis ta solution nécessaire est de restreindre X à

si beta est inj tu as beta(C)=vide=beta de vide donc C=vide
il n'y a donc pas d'elements dasn ta categorie 1

reciproquement beta(X)=beta(Y) =>
or C=vide ssi E=AUB donc tuas bien pour tout X,Y beta(X)=beta(Y) => X=Y

[cpS]

tu fixes X et que tu regardes et
a les memes traces que X sur A et B
pour que beta soit injective il faut que Y soit X

OK. Mais si j'avais fait comme proposition:
X et A ET X et B ne soient pas disjoints?

[WhiteShadow]

OK. Mais si j'avais fait comme proposition:
X et A ET X et B ne soient pas disjoints?

Non, là par contre tu fais faux.

Si tu prends X1 et X2, qui ne sont ni disjoints avec A, ni disjoints avec B. Tu rajoutes comme hypothèse que et . Par contre, on pose qu'ils ont des éléments qui ne sont ni dans A ni dans B différents, autrement dit X1 n'est pas égal à X2.

Tu as alors: X1 X2. Mais

Donc bêta n'est pas injective.

[WhiteShadow]

PS: Comment fait-on le "différent dans" en language TEX?

[arnaud32]

c'est \neq

[WhiteShadow]

c'est \neq

Merci! Comme ça je peux modifier mon message.

[arnaud32]

Non, là par contre tu fais faux.

Si tu prends X1 et X2, qui ne sont ni disjoints avec A, ni disjoints avec B. Tu rajoutes comme hypothèse que et . Par contre, on pose qu'ils ont des éléments qui ne sont ni dans A ni dans B différents, autrement dit X1 n'est pas égal à X2.

Tu as alors: X1 X2. Mais

Donc bêta n'est pas injective.

si E=AUB, il n'y a pas d'elements qui ne soient ni dans A ni dans B

[WhiteShadow]

si E=AUB, il n'y a pas d'elements qui ne soient ni dans A ni dans B

Exact! Et là tu as ta réponse. En tout cas à mon avis... :ptdr:

[arnaud32]

Exact! Et là tu as ta réponse. En tout cas à mon avis... :ptdr:

ce qui revient a dire que la partice C=E\(AUB) est vide, comme je l'avais ecrit plus haut.

[cpS]

Non, là par contre tu fais faux.

Si tu prends X1 et X2, qui ne sont ni disjoints avec A, ni disjoints avec B. Tu rajoutes comme hypothèse que et . Par contre, on pose qu'ils ont des éléments qui ne sont ni dans A ni dans B différents, autrement dit X1 n'est pas égal à X2.

Tu as alors: X1 X2. Mais

Donc bêta n'est pas injective.

Donc quelle condition dois-je donc poser pour que Béta soit injective? Je ne vois pas.

[cpS]

Exact! Et là tu as ta réponse. En tout cas à mon avis... :ptdr:

Donc pour l'injection,
la condition est : E=AUB

Mais pour la surjection,

On me demande d'étudier l'existence d'un antécédent par Béta du couple('ensemble vide', B)
ensuite, je dois déterminer la condition nécessaire pour que Béta soit surjective, et démontrer que cette condition est suffisante.

Est-ce que si je mets que la condition est: E=A=B c'est correct? :doh:

[WhiteShadow]

Il faut que tu prennes

[WhiteShadow]

Ah, mais tu as compris alors. Pour la surjection je ne m'y suis pas encore attardé.

[cpS]

Ah, mais tu as compris alors. Pour la surjection je ne m'y suis pas encore attardé.

D'accord. J'attend ce que vous pensez pour la surjection

[arnaud32]

regardes du cote de