Intégration et Dirichlet : bloquée sur trois questions

[wasamonkey]

Bonjour à tous,

Je suis en première année d'école d'ingénieur et dans le cadre de mes cours de mathématiques nous étudions la fonction de Dirichlet. Malheureusement je me retrouve bloquée avec plusieurs questions faisant parti d'un questionnaire donné par le prof. Je ne vois vraiment pas comment faire, aidez moi s'il-vous plaît !

Je mets l'énoncé en lien si dessous, au cas où mes explications ne seraient pas assez claires :
http://img15.hostingpics.net/pics/753199sage.png

1er question : Montrer que la fonction Dir n'est continue en aucun point x appartenant à R

Malheureusement j'ai l'impression que dans les études de la fonction Dirichlet, il n'y a jamais de démonstration de cette particularité, en tout cas je n'en ai trouvé aucune sur internet et je ne suis pas une des plus forte en math de ma promo on va dire,alors j'aimerais bien savoir comment faire :we:

La question 2 et 3 sont pour moi du petit chinois (je précise que je 'ai JAMAIS eu de cours à ce sujet, je suis un peu désemparée)

Sentez comme ma détresse est grande et comme mon désir de comprendre ce que je fait en math est puissant :mur:

Merci de m'aider ! C'est très important pour que je puisse reussir à l'exam

[barbu23]

Bonsoir,
Qu'est ce que c'est que la fonction de Dirichlet ? Qu'elle est son expression ? N'est-elle pas la fonction caractéristique : ?
Cordialement.

[wasamonkey]

La fonction Dirichlet c'est (pour faire simple et pour que ce soit bien expliqué :lol3: ) :

http://img15.hostingpics.net/pics/341631dirichlet.png

[wasamonkey]

Donc c'est bien la fonction dont tu parle Barbu23 :we:

[barbu23]

Il est préférable d'abord que tu lises à tête reposée ce qu'il y'a sur le lien suivant : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/554380-definition-de-limite-l-x0.html
Lis les postes de chentouf de A à Z. :lol3:
C'est très important avant de t'aider à résoudre tes exercices.
Cordialement. :happy3:

[Ohper]

Pour la première question, il faut en fait bien comprendre ce qu'est une fonction continue ! Prenons juste l'exemple de ta fonction de Dirichlet en 0 (je vais la noter f :we: ). Supposons donc que f est continue en 0, par définition cela signifie que :



(La dernière égalité provenant du fait que 0 est bien un rationnel !)
Cette limite signifie que pour x assez proche de 0, toutes les valeurs de f(x) seront très proches de 1. Or ta fonction ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1 !

On vient donc de montrer que pour x très proche de 0, ta fonction vaut toujours 1 ! Mais ta fonction vaut 1 en un point si et seulement si ce point est rationnel! Donc il existe un petit intervalle autour de 0 ou il n'y a que des rationnels ... Mais on sait par un résultat classique que cela ne peut pas être vrai :we: