(nombres complexes) équation du second degré un peu étrange

[Tir McDohl]

Bonjour,

Alors voilà je suis confronté à cette équation: z^2 -2cos(;))z + 1 = 0.

On m'a dit que c'était simple et que j'avais déjà fait des trucs plus durs, mais là avec ;) d'inconnu c'est du chinois pour moi je sais même pas par où commencer.
Sans forcément donner la réponse, pourriez-vous me donner une piste à développer s'il-vous plait?

Merci d'avance.

[quartzmagique]

Bonjour,

Alors voilà je suis confronté à cette équation: z^2 -2cos(;))z + 1 = 0.

On m'a dit que c'était simple et que j'avais déjà fait des trucs plus durs, mais là avec d'inconnu c'est du chinois pour moi je sais même pas par où commencer.
Sans forcément donner la réponse, pourriez-vous me donner une piste à développer s'il-vous plait?

Merci d'avance.

alors ici est la seule inconnue ? pas z ?

sinon à part ça je suppose que

et ou ai-je tord ?

c'est bien ça ?

[Tir McDohl]

Oui z est l'inconnue de l'équation à la base bien entendu, je notait juste l'inconnue ;) qui est anormale pour ce type d'équation.

Ce n'est pas précisé dans l'énoncé mais je suppose que ;) est réel oui (j'ai jamais fait le cosinus d'autre chose de toute façon, si c'est possible d'ailleurs).

[barbu23]

Salut : :happy3:
Tu fais le calcul du discriminant de ton équation, c'est facile il me semble. :hein:
Cordialement. :happy3:

[quartzmagique]

si c'est pas précisé alors est réel

et comme selon le titre du fil alors z est un nombre complexe

donc tu disait n'est pas l'inconnue

z est l'inconnue

bon alors:

ton equation se presente ainsi

déjà tu peut dire que z est non nul n'est-ce pas?

ensuite sait tu résoudre une equation du second degré à coefficients réel?

est-ce que tu a vu les equations du second degrés à coefficients complexes?

n'oublie pas que z étant un nombre complexe (inconnue) alors les réels peuvent aussi êtres écrits dans ton equation comme des nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle

ici puisque est réel alors tu doit résoudre une equation du second degré à coefficients réel

[quartzmagique]

une equation du second degre peut aussi avoir des racines complexes

en fait si selon le titre du fil tu connais les nombres complexe au moins un peu
tu a déjà vu comment on résoud une equation du second degre avec des coefficients
réels

or c'est justement ce qu'est ton equation non?

quel est la valeur du discriminant ?

[quartzmagique]

en fait ça serai bien que tu dise ce que tu a déjà vu pour mieux t'aider

tu est resté très flou à ce sujet... :+:

[Tir McDohl]

Bah j'ai euh, tout vu.

Juste avant j'ai résolu sans problème z^4+ z^3 + 3z^2 - 5z= 0 (deux racines réelles et deux racines complexes).

et avec un peu plus de complications (une forme canonique puis une racine carrée complexe en algébrique) j'ai réussi aussi iz^2 -2z + 4i + 12 = 0 (deux racines complexes)


Et je sais résoudre des équations relativement compliquées normalement, c'est bizarre.

Bref donc là pour celle qui nous occupe delta me donne 4(cos;))^2 - 4, je peux le transformer de plein façons si vous voulez mais je vois pas le truc pertinent, le ;) me gène. A la limite vu que -1 =< cos;) =< 1 je peux juste dire que le discriminant est soit nul soit négatif. Ca m'avance pas beaucoup, je me vois mal donner une expression de la ou des racines à partir d'une expression avec une inconnue comme ;).

[quartzmagique]

Salut
pour moi on peut se tutoyer de plus je suis pas mathématicien juste ouvrier du bâtiment

ok pour le delta
mais en quoi c'est gênant?

une remarque
sachant que
tu obtiens

comment pose tu les racines et lorsque le discriminant est négatif ?

[Tir McDohl]

Ok merci, je cherchais dans mes relations trigonométriques et j'ai même pas pensé à transformer la toute première qui nous est donnée >_>.

Du coup là en racines j'ai les deux conjugués cos;)+isin;) et cos;)-isin;).

Du coup pour z^4-2cos(;))z^2 + 1= 0 je trouve les 4 solutions +/- racine(cos;)+isin;)) et +/- racine(cos;)-isin;)).
[edit: en j'ai même pas fini mon post que je vois déjà le souçis, je dois être fatigué, je trouve la racine carré complexe des deux et je reposte les 4 resultats]

Sinon en réalité j'ai employé "vous" pour m'adresser à vous deux, ceci dit je le fais toujours en général pour une personne avec plus expérimentée qui m'aide, peu importe son status.
Merci en tout cas.

[quartzmagique]

non
tu te trompe
écrit les racines selon ce que l'on fait d'habitude

[quartzmagique]

tu comprend une racine carrée est une application

et tu ne peut pas non plus faire l'économie de decrire cette racine carrée sans décrire les valeurs de
en n'oubilant pas non plus que avec
et tes deux racines seront toujours conjuguée SAUF pour des valeurs particulières de que tu dois décrire
dans ces cas là tu aura une racine multiple

[Tir McDohl]

Bon je double-post car je galère encore (ahahah) pour l'autre équation (z^4-2cos(;))z^2 + 1= 0) dérivée de celle qui me posait problème tout à l'heure.

En fait je veux étudier dans un premier temps: racine(cos;)+isin;))

Je pose (a+ib)^2 = cos;)+isin;), j'obtiens

a^2 - b^2 = cos;) et 2ab=sin;), avec ce système j'ai b=sin;)/(2a) et donc:
a^2-(sin;)/(2a))^2 = cos;)
et du coup a^4-4a^2cos;) - sin^2;) = 0. Je pose a^2=A ça me donne:
A^2-4Acos;)-sin^2;)=0, je perds pas espoir devant le monstre obtenu et le discriminant est
16cos^2;)- (-16isin^2;))= 16(cos^2;) + sin^2;))= 16. A1=(4+4)/8=1, et A2=(4-4)/8=0.
d'où a1=1, a2=-1 et a3=0.
mais du coup pour b ça donne (1/2)sin;), (-1/2)sin;) et... ben c'est impossible avec 0 ça tombe b=sin;)/0. Du coup je me dis que j'ai fais un truc qu'il faut pas.

Honnêtement naviguer avec tous ces cos;) et sin;) me semblait bizarre depuis le début et encore plus d'obtenir mes chiffres tout ronds de A et a.

Pouvez-vous (/peux-tu) m'aider une fois de plus? je suis un peu perplexe.


edit: je viens de lire tes 2 posts, honnêtement je vois pas trop ce que tu cherches à me dire par la première formule du 2nd post, et aussi un peu le reste en fait. Pourrais-tu reformuler stp?
Sinon je viens aussi de me rappeler la formule de Moivre qui m'avait toujours parue si inutile, je tombe juste sur: (cos;)+isin;))^(1/2)=cos(1/2);) + isin(1/2);), c'est ça >_>?
avec aussi donc (cos;)-isin;))=cos(1/2);) - isin(1/2);).
J'essaie tout mais bon jme fais pas d'illusion sur ce truc non plus... je suis un peu perdu dans cet exo.

[quartzmagique]

depuis tout à l'heure je gallère pour afficher les pages elles se bloquent!!
si j'arrive à te lire c'est en faisant voir les dernier messages de ...toi

bon alors j'ai lut le mot "gallère"

mais gallère pas soit un peu sympas avec toi (les maths sont cruelles)!!!

considère ton sinus:

-lorsque il est positif (donc donner les conditions selon les valeurs de alors dans ce cas


-lorsque il est negatif (donc donner les conditions selon les valeurs de alors dans ce cas


-lorsque il est nul (donc donner les conditions selon les valeurs de alors dans ce cas

[quartzmagique]

je viens de rectifier
j'avais ecrit delta et non racine carree de delta
la page s'affiche un coup sur deux c'est "gallere"
j'ai un ordi de l'inspecteur gadget :ptdr:

[Tir McDohl]

(perso si je laisse le temps (env10-15s) la page se charge quand même, mais y a un problème oui)

euh sinon en fait tu parles de z^2 -2cos(;))z + 1 = 0 en fait, pas de z^4-2cos(;))z^2 + 1= 0 non?

mais je vois pas l'appliquation avec ce que tu me dis au final.

On a delta= 4(i)^2(sin;))^2, du coup tu veux dire quand je donne les deux racines de notre expression (celle du second degré) en plus de (cos;)+isin;)) et (cos;)-isin;)), j'ai aussi cos;) au cas où sin;)=0?
Par contre du coup je comprend pas les relations que tu mets:
la racine de 4(i)^2(sin;))^2 serait donc 2isin;) ou -2isin;) ou 0. Pourquoi mettre sin;) sous une racine aussi.

[quartzmagique]

oui là on en est là
je viens encore de rectifier encore j'ecris trop vite
quand j'arrive à afficher la page je manque de prudence
bon peut tu voir?

sinon apres on verra pour l'autre

bon est-ce que tu me suit pour la première?
il reste encore à faire dessus

[Tir McDohl]

C'est d'elle dont je parle dans mon dernier post.

edit: ah oui la modification de ton post c'est vrai! je vois le rapport maintenant, mais du coup c'est ce que je disais non? une troisième solution z=cos;).

[quartzmagique]

ok
je croyais que ça venai de mon ordi

bon je peut pas te citer c'est gallere: ça bloque!
et pour eviter le plus de gallere avec cette page je redonne tout d'un coup
de plus pour ne pas faire d'erreur je prefere lire tout sur un même post
bon alors on avait












et tu sait que alors

tu pose

donc il faut donner les valeurs de dans l'intervalle
tels que:

-lorsque est strictement positif et dans ce cas

-lorsque est strictement négatif et dans ce cas

-lorsque et dans ce cas

puis terminer en posant
avec

[quartzmagique]

et n'oublie pas que ton discriminant delta est soit nul soit negatif
donc tu obtiens
soit deux racines complexes (conjuguées)
soit une racine réelle multiple

tu dois donner la solution

selon l'équation

on considère

-lorsque avec
alors on obtiens deux racines distinctes





-lorsque avec
alors on obtiens deux racines distinctes





-lorsque
avec ou
alors on obtiens une racine réelle et multiple