Trigonométrie DM

[butterfly22]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour un DM car je suis perdu je n'y comprend rien du tout ! Voilà l'énoncé:


On cherche à déterminer les mesures du plus grand secteur angulaire de périmètre P fixé.
Un secteur angulaire ( en gris sur la figure ) est délimité par deux segments [OA] et [OB], et un arc de cercle AB de centre O.
On note OA=OB=R et AOB=alpha avec alpha appartient [0;2pi]

(Désolé pour la figure mal faite )


On admet que:
-la longueur de l'arc AB est alphaR
-l'aire du secteur gris est 1/2alphaR²

1-Déterminer le périmètre P du secteur angulaire en fonction de alpha et R. Exprimer R en fonction de P et alpha.
2-En déduire que l'aire du secteur est A[FONT=Comic Sans MS][/FONT]=P²/2 alpha/(alpha+2)²
3-Déterminer les variations de la fonction f:alpha--> alpha/(alpha+2)² sur l'intervalle alpha appartient [0;2pi]
4-En déduire pour quelle valeur de alpha l'aire du secteur est maximale. Déterminer cette aire maximale en fonction de P


Exercice2:

1-Déterminer la mesure princiupale d'un angle de mesure 2013pi/5
2-Résoudre dans R les équations cos(x)=cos(2013pi/5) et sin(x)=sin(2013pi/5)

MERCI DAVANCE

[XENSECP]

Le périmètre ça va non?

[butterfly22]

Le périmètre ça va non?

Non :/ je sais que P d'un cercle c'est 2pi mais ici ?

[spike0789]

Bonjour,

Le périmètre du secteur angulaire est égale à : OA + AB +OB...

(AB étant la longueur de l'arc et non du segment)

[XENSECP]

et AB t'es donné...

[butterfly22]

Donc P=OA+OB+alphaR ?

mais Exprimer R en fonction de P et alpha ????

[butterfly22]

P=R+R+alphaR c'est ca ? pour exprimer R en fonction de P et alpha ?

2R=alphaR-P c'est sa ?

[larbi19]

oui c'est ça.
mais l'aire d'un secteur me semble fausse. il manque pi dans la formule !

[spike0789]

Non la formule de l'aire est bien = (alpha*R^2)/2 (produit en croix 2Pi<->Pi*R^2...)

Alors, P= (2+alpha)*R, Donc, R=P/(2+alpha)

Or l'aire est égale à (alpha*R^2)/2, donc tu remplace R par la formule ci-dessus...

[butterfly22]

Pour la question 2, pour l'aire, je dois en déduire que l'aire du secteur est P²/2 alpha/(alpha+2)²

[butterfly22]

Je me suis trompé dans l'ennonce pour l'aire c'est pas alpha c'est juste A=.... désolé

[butterfly22]

Comment faire pour calculer la dérivé de x/(2+x)²

[spike0789]

Salut,

c'est une dérivée de la forme u/v et :

(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

[butterfly22]

donc c'est 1(2+x)²-x*2*(2+x)/((2+x)²)²
=(2+x)²-2x(2+x)/((2+x)²)²
=x²+4/((2+x)²)²

??

Parcontre par la suite je dois faire un tableau de signe et puis un tableau de variation le carré et le dénominateur va me poser probleme ?

[spike0789]

plutôt pour la dernière ligne :
(4-x^2)(2+x)^4=(2+x)*(2-x)/(2+x)^4=(2-x)/(2+x)^3

de plus : (2-x)/(2+x)^3=(2-x)/((2+X)^2*(2+x))

comme (2+X)^2 est toujours positif, f' est du signe de (2-x)/(2+x)

Courage tu y es presque :)

[butterfly22]

OKK parcontre je dois déterminer les variations sur l'intervalle [0;2pi[ moi jai trouvé que cetait décroissant sur -infini;-2 croissant sur -2;2 et décroissant sur 2;+infini
comment faire