Proba/estimation

[letty_ym]

Bonjour je suis bloquée dans l'exercice suivant :

On veut estimer le nombre N > 30 d’écureuils vivants sur le campus d’Orsay. Pour cela
on en capture M = 20, on leur met une marque sur une patte et on les relâche. On attend un mois que
les 20 écureuils se mélangent avec le reste de la population écureuil du campus. Ce mois étant passé on
capture n = 10 écureuils au hasard. On compte le nombre d’écureuils marqués parmi ces 10 et on note
ce nombre XN. (les questions 2 et 3 sont indépendantes)
1. Quelle est la loi de XN ?
2. Pour 1  i  10 on définit Ai comme étant la variable aléatoire égale à 1 si le i-ème écureuil
(parmi les 10) a une marque et 0 sinon.
(a) Quelle est la loi de Ai ? Exprimer XN en fonction des Ai. En déduire E[XN].
(b) Calculer P(A1 = 1 \ A2 = 1). Les variables aléatoires Ai sont elles indépendantes ?
3. On définit la suite
uN = P(XN = 3).
(a) Donner une expression de uN en fonction de N ?
(b) À quelle condition
uN/uN;)1> 1?
En déduire un tableau de variation pour uN.
(c) Pour quel N, uN est-elle maximal ?
(d) On suppose que sur les 10 écureuils, 3 sont marqués. Quel est la taille N de la population
d’écureuil pour laquelle cette observation était la plus probable ? On appelle cet entier
l’estimateur du maximum de vraisemblance de la taille de la population

J'ai trouvé pour la 1 que XN suivait la loi hypergéométrique de paramètres N>30, M = 20 et n =10. Puis pour la 2 que Ai suivait la loi de Bernouilli mais ensuite je suis bloquée...

[guiguipelloq]

Attention XN suit bien une loi hypergéométrique mais de paramètres N (nombre total écureuils dans le parc), n=10 (nombre d'écureuils tirés), M/N (proportion d'écureuils marqués dans le parc).
Son espérance est donc directement (d'après le cours) .
XN est par ailleurs la somme de tous les Ai. Je ne vois pas encore quelle est leur loi, qui doit être simple. Les Ai suivent des lois de Bernoulli mais pas forcément de même paramètre, c'est ça que je trouve étrange. Je re-regarderai ça plus tard.

[letty_ym]

Je vois pourquoi l'espérance de n(M/N) mais pourquoi un des paramètres est M/N et non pas M tout court ?
Du coup, comment je peux calculer la probabilité de l'intersection de A1 et A2 ?

[guiguipelloq]

Le 3ème paramètre de cette loi est par définition la proportion de boules blanches dans l'urne dans la situation type. Ce nombre est tel que si on le multiplie par le nb total de boules dans l'urne, on obtient le nb de boules blanches dans l'urne. C'est simplement défini comme ça et si tu veux justifier avec une loi hypergéométrique tu devras la définir comme ceci.
La proba de ton inter est très simple : 10/30 * 9/29
Dis-moi si tu ne comprends pas ça.
Pour raisonner il est plus simple de se dire qu'on prend les écureuils non pas d'un coup mais un par un (sans remise).

[leon1789]

On veut estimer le nombre N > 30 d’écureuils vivants sur le campus d’Orsay. Pour cela
on en capture M = 20, on leur met une marque sur une patte et on les relâche. On attend un mois que
les 20 écureuils se mélangent avec le reste de la population écureuil du campus. Ce mois étant passé on capture n = 10 écureuils au hasard. On compte le nombre d’écureuils marqués parmi ces 10 et on note ce nombre XN. (...)
(d) On suppose que sur les 10 écureuils, 3 sont marqués. Quel est la taille N de la population
d’écureuil pour laquelle cette observation était la plus probable ?

La population au maximum de vraisemblance est évidemment .
Mais plus intéressant est un intervalle de confiance à 95 % , pour se rendre compte de l'incertitude du "plus vraisemblant" : [34, 222] :doh: