Problème accélération et intégrale

[mick492]

Bonjour,

Je voudrais calculer la vitesse à partir d'une accélération non constante
Voici la formule de l'accélération :

a(t) = g * (a/(b - c * t) -1)

Mais je n'arrive pas à trouver la primitive de cette fonction afin de calculer la vitesse v(t).

Si une bonne âme peut m'aider... Merci

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,

Je voudrais calculer la vitesse à partir d'une accélération non constante
Voici la formule de l'accélération :

a(t) = g * (a/(b - c * t) -1)

Mais je n'arrive pas à trouver la primitive de cette fonction afin de calculer la vitesse v(t).

Si une bonne âme peut m'aider... Merci

Salut,

Sachant que g est constante, il te faut faire passer g devant l'intégrale.
On écrit donc
Puis intégrer 1/u(t) est aisé.

[mick492]

Merci de ta réponse. a, b et c sont aussi des constantes, peut on encore simplifier?

[Kikoo <3 Bieber]

Merci de ta réponse. a, b et c sont aussi des constantes, peut on encore simplifier?

tu sais que (ln u)'=u'/u donc il te faut une expression de la forme u'/u afin de pouvoir l'intégrer en ln...
Or tu as quelque chose de la forme constante1/(constante2+kx) avec x la variable selon laquelle tu veux intégrer ta formule. Le tout sera donc de mettre en facteur la constante1 au numérateur, dont l'on divise k en multipliant le reste par k, pour avoir une expression de la forme :
(constante1/k)*(k/(constante2+kx)).
Dès lors que tu as k/(constante2+kx), tu peux intégrer ton expression !

[mick492]

dac merci je vais essayer ça.

[mick492]

ça serait donc:
v(t) = g * intégrale(a/c * ln(b - ct) - t)

ça me donne un résultat bizarre

Désolé pour l'écriture, je ne sais pas comment mettre les symboles

[Kikoo <3 Bieber]

ça serait donc:
v(t) = g * intégrale(a/c * ln(b - ct) - t)

ça me donne un résultat bizarre

Désolé pour l'écriture, je ne sais pas comment mettre les symboles

Si tu enlèves "intégrale", je serais d'accord

[Mathusalem]

Si tu enlèves "intégrale", je serais d'accord

Je suis pas certain d'être d'accord :hum: notamment vis-à-vis d'un signe moins qui s'est fait oublier !

[mick492]

v(t) = g * a/c * ln(b - ct) - t te convient mieux ^^

Ca me donne un résultat abérant

Je cherche à calculer la vitesse d'une fusée qui s'allège au court du temps
pour simplifier dans un premier temps, je considère que la direction du vecteur poussée et l'opposée de la direction du vecteur g

soit:

a = 25000g = poussé
b = 20000g = masse au décollage
c = 141.6g/s = allègement au court du temps
g = 9.81 m/s²

peut être que mon raisonnement est faux sur la formule de l'accélération :cry:

[mick492]

Le signe moins?

[Kikoo <3 Bieber]

Je suis pas certain d'être d'accord :hum: notamment vis-à-vis d'un signe moins qui s'est fait oublier !

Tout à fait, j'ai dit des bêtises !

Alors entre autres, il faut le signe - avant le log, car ne pas oublier que la dérivée de -ct vaut -c !
Et d'autre part, le log n'est pas valable si b-ct prend des valeurs négatives, on n'oubliera donc pas de mettre des valeurs absolues.
Dis-moi si j'ai encore fait des oublis Mathusalem ! :++:

[mick492]

alors c'est v(t) = g * a/-c * -ln(b - ct) - t ?

[Kikoo <3 Bieber]

alors c'est v(t) = g * a/-c * -ln(b - ct) - t ?

2- de trop, il faut choisir !

[mick492]

v(t) = g * a/c * -ln(b + ct) - t ?
Je suis perdu avec l'histoire des moins :hein:

[Kikoo <3 Bieber]

Je veux dire que parmi 2-, il y en avait un de trop !
Regarde tes primitives usuelles.

[Black Jack]

a(t) = g * (a/(b - c * t) -1)

v(t) = g * (-a/c .ln|b-ct| - t) + K

Mais ce n'est pas des "mieux vu" en physique d'exprimer une poussée en kg (ou en g), et c'est pourtant ce qui a été fait.

Si la vitesse est nulle au départ, on calcule la valeur de K par : K = g * (a/c .ln|b|)


:zen:

[mick492]

a(t) = g * (a/(b - c * t) -1)

v(t) = g * (-a/c .ln|b-ct| - t) + K

Mais ce n'est pas des "mieux vu" en physique d'exprimer une poussée en kg (ou en g), et c'est pourtant ce qui a été fait.

Si la vitesse est nulle au départ, on calcule la valeur de K par : K = g * (a/c .ln|b|)


:zen:

Merci pour ces explications :lol3: , comme vous le devinez je n'ai pas un excellent niveau en math, d'où ma difficulté à comprendre.
Par contre d'où sort le + K et comment arrives tu à K = g * (a/c .ln|b|)

[Kikoo <3 Bieber]

Merci pour ces explications :lol3: , comme vous le devinez je n'ai pas un excellent niveau en math, d'où ma difficulté à comprendre.
Par contre d'où sort le + K et comment arrives tu à K = g * (a/c .ln|b|)

On appelle ceci une condition de continuité. Black Jack te dit que la vitesse est nulle à l'instant de départ donc v(0)=0, et on en déduit la valeur de la constante K.

[Black Jack]

Merci pour ces explications :lol3: , comme vous le devinez je n'ai pas un excellent niveau en math, d'où ma difficulté à comprendre.
Par contre d'où sort le + K et comment arrives tu à K = g * (a/c .ln|b|)

a(t) = g * (a/(b - c * t) -1)

dv/dt = g * (a/(b - c * t) -1)
La résolution de cette équation différentielle donne : v(t) = g * (-a/c .ln|b-ct| - t) + K

K est une constante d'intégration, si on dérive v par rapport au temps, K disparait puisque la dérivée d'une constante est nulle.

Mais ce "K" ne peut pas être oublié car c'est grâce à lui que la condition initiale (par exemple v(0) = 0) peut être respectée.

En effet, si la condition initiale est V(0) = 0, alors :

v(0) = 0 = g * (-a/c .ln|b-c*0| - 0) + K

g * (-a/c .ln|b| ) + K = 0

K = (ag/c).ln|b|

et donc finalement, on a : v(t) = g * (-a/c .ln|b-ct| - t) + (ag/c).ln|b|

:zen:

[mick492]

Merci lol, il faut que je remette le nez dans mes bouquins de maths..
En tout cas ça fonctionne
Question peut etre bete, pourquoi F(t) - F(0) ne fonctionne pas?