Opérateur linéaire Adjoint

[sylwa]

Bonjour !

J'ai une question naïve qui me vient en étudiant mon cours sur les espaces de Hilbert.

Dans un espace de Hilbert H, on définit l'application linéaire appelée adjoint de l'application linéaire A par l'égalité :

Mais concrètement, qu'est ce qu'un opérateur adjoint ? Pourquoi l'introduit-on et pourquoi semble-t-il jouer un rôle fondamental dans la théorie des espaces de Hilbert ?

Merci pour vos réactions.

Sylvain

[Deliantha]

Mais concrètement, qu'est ce qu'un opérateur adjoint ? Pourquoi l'introduit-on et pourquoi semble-t-il jouer un rôle fondamental dans la théorie des espaces de Hilbert ?

Reviens déjà à la définition de base : l'opérateur adjoint, quand il existe, est un nouvel opérateur défini sur un espace vectoriel sur le corps ou , muni d'un produit scalaire, dans un espace préhilbertien.

[Skullkid]

Bonjour, l'objet "fondamental" dans un Hilbert (dans un espace préhilbertien en fait) c'est le produit scalaire. Un opérateur et son adjoint fonctionnent ensemble vis-à-vis du produit scalaire : en termes profanes, on passe de A à A+ en essayant de faire passer A de l'autre côté du produit scalaire. Du coup, on se dit que les opérateurs qui se comportent "bien" vis-à-vis de l'adjonction se comportent "bien" vis-à-vis du produit scalaire, c'est-à-dire qu'ils sont les "bons" opérateurs lorsqu'on travaille sur un espace préhilbertien. D'où l'introduction de catégories particulières d'opérateurs : les opérateurs autoadjoints qui sont leur propre adjoint, les opérateurs antiautoadjoints qui sont adjoints de leur opposé, les opérateurs unitaires qui sont adjoints de leur inverse et les opérateurs normaux qui commutent avec leur adjoint.

Comme exemple de propriété intéressante : toute matrice réelle autoadjointe (on peut montrer que ça équivaut au fait qu'elle soit symétrique) est diagonalisable dans une base orthonormée pour le produit scalaire canonique de R^n.

[sylwa]

Reviens déjà à la définition de base : l'opérateur adjoint, quand il existe, est un nouvel opérateur défini sur un espace vectoriel sur le corps ou , muni d'un produit scalaire, dans un espace préhilbertien.

Merci Deliantha pour ce lien wiki sur l'opérateur Adjoint.

[sylwa]

Bonjour, l'objet "fondamental" dans un Hilbert (dans un espace préhilbertien en fait) c'est le produit scalaire. Un opérateur et son adjoint fonctionnent ensemble vis-à-vis du produit scalaire : en termes profanes, on passe de A à A+ en essayant de faire passer A de l'autre côté du produit scalaire. Du coup, on se dit que les opérateurs qui se comportent "bien" vis-à-vis de l'adjonction se comportent "bien" vis-à-vis du produit scalaire, c'est-à-dire qu'ils sont les "bons" opérateurs lorsqu'on travaille sur un espace préhilbertien. D'où l'introduction de catégories particulières d'opérateurs : les opérateurs autoadjoints qui sont leur propre adjoint, les opérateurs antiautoadjoints qui sont adjoints de leur opposé, les opérateurs unitaires qui sont adjoints de leur inverse et les opérateurs normaux qui commutent avec leur adjoint.

Comme exemple de propriété intéressante : toute matrice réelle autoadjointe (on peut montrer que ça équivaut au fait qu'elle soit symétrique) est diagonalisable dans une base orthonormée pour le produit scalaire canonique de R^n.

Merci SkullKid pour cette illustration.