Tenseurs.

[Aberline]

Bonjour, je suis en L1 physique, et je suis confronté a un vide -un vrai trou noir- concernant les tenseurs, que je vois en maths appliquées à la phy et en électromag. En effet, si j'ai leur compositions avec les composantes symétriques et asymétriques etc, je n'arrive pas a me représenter ce qu'est concrètement un tenseur ...
Ceci est donc un appel à un esprit charitable et averti .. ^^ :help:

[Mathusalem]

Bonjour, je suis en L1 physique, et je suis confronté a un vide -un vrai trou noir- concernant les tenseurs, que je vois en maths appliquées à la phy et en électromag. En effet, si j'ai leur compositions avec les composantes symétriques et asymétriques etc, je n'arrive pas a me représenter ce qu'est concrètement un tenseur ...
Ceci est donc un appel à un esprit charitable et averti .. ^^ :help:

C'est un objet mathématique qui relie deux grandeurs vectorielles, mais d'une manière plus subtile qu'un simple scalaire.

Par exemple,



Le vecteur est relié au vecteur par un scalaire.

Tu peux le récrire comme



La premiere composante de la force est reliée à la première composante de l'accélération par un scalaire, la masse. Ceci est aussi vrai pour la deuxième composante de la force et la deuxième composante de l'accélération, ainsi que pour la 3ème.

Remarque que tu peux aussi écrire cette relation comme



Le tenseur, c'est la matrice qui est devant le vecteur. Dans ce cas là, il est diagonal, et tous les éléments de la diagonale sont identiques, donc enfait, tu peux le voir comme un scalaire.

Imagine maintenant, que pour un repère Oxyz donné, un objet exhibe des caractéristiques bizarres, comme par exemple la conductivité dans un solide.


Le courant est relié au champ éléctrique par la conductivité du milieu. Si ton matériau est conducteur selon l'axe x et y, mais isolant selon l'axe z, tu auras alors un tenseur de cette forme



Parce que quelque soit le champ éléctrique dans la direction E_z, aucun courant ne pourra être formé car Jz = 0*Ex + 0*Ey + 0*Ez, alors que
Tu peux également imaginer que la direction x conduise de manière différénte que la direction y, et pour cela, le tenseur est un objet mathématique très pratique pour traduire cette idée



On voit donc que les directions ne sont pas équivalentes, une direction conduit différemment de l'autre.

C'est le cas par exemple pour le tenseur d'inertie qui exprime à quel point il est difficile de mettre en rotation un objet selon certains axes. Il est plus difficile de faire tourner une bouteille de vin selon sa perpendiculaire (p.ex axe x) que selon sa verticale (p.ex axe z).

Mais il y a aussi des systèmes où une grandeur sur un axe x induit un changement sur un axe différent. Par exemple, quand tu compresses une brique de lait selon l'axe x, non seulement elle réduit sa taille selon x, mais elle s'allonge selon y et z.

Donc, la pression est reliée à la déformation
par un tenseur de déformation, qui exprime le comportement du solide sous une certaine pression.



Donc tu vois qu'une pression selon l'axe x correspond à une déformation selon l'axe x, y, et z !

C'est tout, donc le tenseur d'inertie c'est un objet mathématique qui permet de donner des liens particuliers entre les différentes directions de deux grandeurs vectorielles.

[Aberline]

Ok ! Et bah ça change des profs d'électromagnétisme qui inondent le tableau de formules sans commencer par un exemple simple ! Merci beaucoup tu m'a très bien éclairé :ptdr: