Fonction dérivable: comment prouver.

[eratos]

salut!!
Est-ce correct? des fois, y a des trucs chelous, comme celui là:

DL à l'ordre 5 en 0


je trouve:

J'espère avoir merdé, car si ça s'avérait vrai c'est totalement immonde :bad:

[Nightmare]

Hello,

tu as merdé, mais les bons coefficients n'ont pas forcément une meilleure gueule...

[chan79]

salut!!
Est-ce correct? des fois, y a des trucs chelous, comme celui là:

DL à l'ordre 5 en 0


je trouve:

J'espère avoir merdé, car si ça s'avérait vrai c'est totalement immonde :bad:

pour le coef de x^5, j'ai -63/256
le reste me paraît bon

[Elerinna]

Le 5ième terme est erroné car on a : (un formulaire le vérifie) !

[eratos]

j'avais oublié la factorielle au dénominateur =) Merci.


Un nouveau problème, loin des DL cette fois:

On a f une fonction de I (intervalle) dans R. Elle est continue et dérivable de dérivée f'.
On cherche l'ensemble des fonctions qui vérifient: pour tout x: f(-x)(f'x)=1

En conseil, on me dit de poser g: x --> f'(x)f(-x)

Du coup si j'arrive à trouver que g est dérivable et que sa dérivée vaut zéro. J'aurais plus qu'à prouver que g est une fonction constante de valeur 1.

voilà l'algorithme, reste plus que l'exécution, un peu délicate.
Si quelqu'un peut me mettre la puce à l'oreille. :id:

[chan79]

j'avais oublié la factorielle au dénominateur =) Merci.


Un nouveau problème, loin des DL cette fois:

On a f une fonction de I (intervalle) dans R. Elle est continue et dérivable de dérivée f'.
On cherche l'ensemble des fonctions qui vérifient: pour tout x: f(-x)(f'x)=1

En conseil, on me dit de poser g: x --> f'(x)f(-x)

Du coup si j'arrive à trouver que g est dérivable et que sa dérivée vaut zéro. J'aurais plus qu'à prouver que g est une fonction constante de valeur 1.

voilà l'algorithme, reste plus que l'exécution, un peu délicate.
Si quelqu'un peut me mettre la puce à l'oreille. :id:

deux fonctions qui conviennent
f(x)=e^x
f(x)=-e^x

[ev85]

j'avais oublié la factorielle au dénominateur =) Merci.


Un nouveau problème, loin des DL cette fois:

On a f une fonction de I (intervalle) dans R. Elle est continue et dérivable de dérivée f'.
On cherche l'ensemble des fonctions qui vérifient: pour tout x: f(-x)(f'x)=1

En conseil, on me dit de poser g: x --> f'(x)f(-x)

Du coup si j'arrive à trouver que g est dérivable et que sa dérivée vaut zéro. J'aurais plus qu'à prouver que g est une fonction constante de valeur 1.

voilà l'algorithme, reste plus que l'exécution, un peu délicate.
Si quelqu'un peut me mettre la puce à l'oreille. :id:

f est deux fois dérivable. Alors dérive !

[Le_chat]

j'avais oublié la factorielle au dénominateur =) Merci.


Un nouveau problème, loin des DL cette fois:

On a f une fonction de I (intervalle) dans R. Elle est continue et dérivable de dérivée f'.
On cherche l'ensemble des fonctions qui vérifient: pour tout x: f(-x)(f'x)=1

En conseil, on me dit de poser g: x --> f'(x)f(-x)

Du coup si j'arrive à trouver que g est dérivable et que sa dérivée vaut zéro. J'aurais plus qu'à prouver que g est une fonction constante de valeur 1.

voilà l'algorithme, reste plus que l'exécution, un peu délicate.
Si quelqu'un peut me mettre la puce à l'oreille. :id:

Salut.

Le problème c'est pas de montrer que g est constante égale à 1, ça tu le sais c'est l'hypothèse de l'énoncé.

Le truc à montrer c'est que tu peux effectivement dériver g selon la règle du produit, c'est à dire écrire g'=f*f"+(f')^2. Tu sais que g est dérivable, ben oui c'est la fonction constante égale à 1!

En fait ,ce qu'il faut faire pour pouvoir dériver ainsi g, c'est juste montrer que f' est dérivable.

Tu peux déjà montrer que f ne peut pas s'annuler.

[ev85]

deux fonctions qui conviennent
f(x)=e^x
f(x)=-e^x

Une indication (?) est solution...

[eratos]

Salut.

Le problème c'est pas de montrer que g est constante égale à 1, ça tu le sais c'est l'hypothèse de l'énoncé.

Le truc à montrer c'est que tu peux effectivement dériver g selon la règle du produit, c'est à dire écrire g'=f*f"+(f')^2. Tu sais que g est dérivable, ben oui c'est la fonction constante égale à 1!

En fait ,ce qu'il faut faire pour pouvoir dériver ainsi g, c'est juste montrer que f' est dérivable.

Tu peux déjà montrer que f ne peut pas s'annuler.

alors ça c'est pas compliqué en connaissant les trucs qui vont bien:
On peut pas avoir f(-x) = 0 sans quoi ça contredirait l'hypothèse f(-x)f'(x)=1
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f est donc soit >0 soit 0, f(x) et f'(x) sont de même signes, quelque soit x. du coup f>0 implique f'>0 implique strict croissance de f. (même raisonnement quand f<0 f décroit strictement).

Maintenant, je réfléchis à la suite :lol3:

[chan79]

alors ça c'est pas compliqué en connaissant les trucs qui vont bien:
On peut pas avoir f(-x) = 0 sans quoi ça contredirait l'hypothèse f(-x)f'(x)=1
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f est donc soit >0 soit 0, f(x) et f'(x) sont de même signes, quelque soit x. du coup f>0 implique f'>0 implique strict croissance de f. (même raisonnement quand f<0 f décroit strictement).

Maintenant, je réfléchis à la suite :lol3:

soit f une fonction qui convient
si on pose h(x)=f(x)*f(-x)
h'(x)=f'(x)*f(-x)-f(x)*f'(-x)=1-1=0
h est constante
f(x)*f(-x)=k avec k qui ne peut pas être nul
si on multiplie chaque membre par f'(x)
f(x)*f'(x)*f(-x)=kf'(x)
f(x)*1=kf'(x)
on a une équation différentielle facile à résoudre
f(x)=a*e^(bx) avec a²b=1
à vérifier ...

[Le_chat]

alors ça c'est pas compliqué en connaissant les trucs qui vont bien:
On peut pas avoir f(-x) = 0 sans quoi ça contredirait l'hypothèse f(-x)f'(x)=1
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f est donc soit >0 soit 0, f(x) et f'(x) sont de même signes, quelque soit x. du coup f>0 implique f'>0 implique strict croissance de f. (même raisonnement quand f<0 f décroit strictement).

Ça a l'air bon, mais on ne va pas se servir de la fin pour montrer que on peut écrire g'(x)=f"(x)f(-x)-f^2(x).

Le truc c'est de montrer que f est deux fois dérivable, tu vois comment y parvenir?

[chan79]

Ça a l'air bon, mais on ne va pas se servir de la fin pour montrer que on peut écrire g'(x)=f"(x)f(-x)-f^2(x).

Le truc c'est de montrer que f est deux fois dérivable, tu vois comment y parvenir?

Il n'y aurait pas une petite erreur de texte ?
En posant g(x)=f(x)*f(-x), ça semble marcher (voir ci-dessus, j'ai mis h au mieu de g)

[ev85]

Le truc c'est de montrer que f est deux fois dérivable, tu vois comment y parvenir?

Peut-être en démontrant que ...

[Le_chat]

Il n'y aurait pas une petite erreur de teste ?
En posant g(x)=f(x)*f(-x), ça semble marcher (voir ci-dessus, j'ai mis h au mieu de g)

Oui ça marche, c'est juste que ce n'est pas la méthode suggérée par l'énoncé!

[eratos]

Ça a l'air bon, mais on ne va pas se servir de la fin pour montrer que on peut écrire g'(x)=f"(x)f(-x)-f^2(x).

Le truc c'est de montrer que f est deux fois dérivable, tu vois comment y parvenir?

Pas trop, j'ai tenté le calcul de la limite du taux d'accroissement de f'(x), j'aboutis à une forme indéterminée style . :hein:

[Le_chat]

Regarde le message de ev85, il a tout dit.

[eratos]

Il n'y aurait pas une petite erreur de texte ?
En posant g(x)=f(x)*f(-x), ça semble marcher (voir ci-dessus, j'ai mis h au mieu de g)

j'ai relu l'énoncé et :doh: . Depuis le départ ,chan a raison, g(x)= f(x)f(-x). .. le boulet...(moi hein, pas chan)

Sinon s'il y a moyen de faire en prenant g(x) = f'(x)f(-x) alors j'aimerais pouvoir le faire.

[Le_chat]

Bon ben dans ce cas, chan a résolu le problème comme c'était demandé.


Sinon, tu dis que f'(x)=1/f(-x) ce qui est dérivable par opérations usuelles, donc

g'(x)=f''(x)f(-x)-f'(x)f'(-x), comme g=1,
f"(x)f(-x)=f'(x)f'(-x).

En multipliant par f'(x):
f"(x)=f'(x)^2*f'(-x).

En multipliant par f(x):
f"(x)f(x)=f'(x)^2
Donc (f en s'annule pas):
(f"*f-f'^2/f^2)=0

Et donc f'/f est une constante, on trouve les mêmes choses que avec la méthode de chan.

[eratos]

Bon ben dans ce cas, chan a résolu le problème comme c'était demandé.


Sinon, tu dis que f'(x)=1/f(-x) ce qui est dérivable par opérations usuelles, donc

g'(x)=f''(x)f(-x)-f'(x)f'(-x), comme g=1,
f"(x)f(-x)=f'(x)f'(-x).

En multipliant par f'(x):
f"(x)=f'(x)^2*f'(-x).

En multipliant par f(x):
f"(x)f(x)=f'(x)^2
Donc (f en s'annule pas):
(f"*f-f'^2/f^2)=0

Et donc f'/f est une constante, on trouve les mêmes choses que avec la méthode de chan.

Merci les gars :lol3:
J'arrive pas à changer le titre du sujet, donc faut que je crée un nouveau thread sur les équations différentielles...