Limites et continuité (bien entamé)

[Phoceen]

Bonjour à tous,

j'ai un DM à faire, je l'ai commencé mais je bute sur quelques questions. Voici l'énoncé :


Soit la fonction f définie sur R\{1} par:

et Cf sa courbe représentative.

1) Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Que peut-on en déduire pour la courbe Cf ?

2)a. Déterminer les réels a, b, c et d tels que pour tout réel x différent de 1,
b. En déduire que la droite D d'équation est asymptote à la courbe Cf.
c. Préciser la position de Cf par rapport à D et les coordonnées de leur point commun I.

3) On admettra que
En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations.

4) Représenter la courbe Cf avec ses asymptotes et ses tangentes horizontales.


Alors voilà mes réponses :

1. Fonction polynome donc

Donc quand x -> + infini : + infini
-> - infin : - infini

Mais qu'est ce que je dois faire sur : "que peut-on en déduire pour la courbe CF " ?



2a. J'ai tout mis au même dénominateur, et j'ai trouvé :

a = 1
b = -2
c = 3
d = -2


Et là pour la suite je bute, que dois-je faire pour en déduire ?

D'avance merci.

[titine]

Soit la fonction f définie sur R\{1} par:

et Cf sa courbe représentative.

1) Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Que peut-on en déduire pour la courbe Cf ?

2)a. Déterminer les réels a, b, c et d tels que pour tout réel x différent de 1,
b. En déduire que la droite D d'équation est asymptote à la courbe Cf.
c. Préciser la position de Cf par rapport à D et les coordonnées de leur point commun I.

3) On admettra que
En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations.

4) Représenter la courbe Cf avec ses asymptotes et ses tangentes horizontales.


Alors voilà mes réponses :

1. Fonction rationnelle donc

Donc quand x -> + infini : + infini
-> - infin : - infini

Mais qu'est ce que je dois faire sur : "que peut-on en déduire pour la courbe CF " ?

Il faut aussi déterminer les limites de f à gauche et à droite de 1.

[Phoceen]

Il faut aussi déterminer les limites de f à gauche et à droite de 1.

Ha oui, donc je fais un tableau de signe :

X | - 1 +
---------------------------
x | - 0 +


x car

donc lim f(x) :
x -> 1
x > 1

et lim f(x) :
x -> 1
x < 1

C'est bien ça ?

[titine]

Non, le théorème dit :
la limite en + ou - l'infini d'une fonction rationnelle est à égale à la limite en + ou - l'infini du quotient de ces termes de plus haut degré.
Ce théorème ne s'applique que pour les limites à l'infini, pas pour calculer les limites quand x tend vers 1.
Pour calculer ces limites il faut calculer la limite de x^3-4x²+8x-4 et la limite de (x-1)² ..............

[Phoceen]

Non, le théorème dit :
la limite en + ou - l'infini d'une fonction rationnelle est à égale à la limite en + ou - l'infini du quotient de ces termes de plus haut degré.
Ce théorème ne s'applique que pour les limites à l'infini, pas pour calculer les limites quand x tend vers 1.
Pour calculer ces limites il faut calculer la limite de x^3-4x²+8x-4 et la limite de (x-1)² ..............

Autant pour moi alors !

Donc

donc lim x^3-4x²+8x-4 :
x -> 1
x > 1

donc lim x^3-4x²+8x-4 :
x -> 1
x 1
x > 1

lim (x-1)^2 :
x -> 1
x 1 x ->1
x > 1 x <1


On est bon ?

[titine]

Autant pour moi alors !

Donc

donc lim x^3-4x²+8x-4 :
x -> 1
x > 1

donc lim x^3-4x²+8x-4 : 1^3-4*1²+8*1-4 = 1-4+8-4 = 1
x -> 1
x 1
x > 1

lim (x-1)^2 :
x -> 1
x 1 x ->1
x > 1 x <1


On est bon ?

Non
Ton raisonnement est faux.
0/0 = forme indéterminée
Mais en fait, la limite du numérateur n'est pas 0 mois 1 comme indiqué ci-dessus.

[Phoceen]

donc

Donc

donc lim x^3-4x²+8x-4 : 1
x -> 1
x > 1

donc lim x^3-4x²+8x-4 = 1
x -> 1
x < 1

et

lim (x-1)^2 : 0+
x -> 1
x > 1

lim (x-1)^2 : 0-
x -> 1
x < 1


C'est ça ?

[titine]

[quote="Phoceen"]donc

Donc

donc lim x^3-4x²+8x-4 : 1
x -> 1
x > 1

donc lim x^3-4x²+8x-4 = 1
x -> 1
x 1
x > 1

lim (x-1)^2 : 0+ car (x-1)^2 est positif
x -> 1
x 1) de f(x) = +inf

Que peut on en déduire pour la courbe de f ?

(Remarque : fais tracer la courbe par ta calculatrice et vérifie que tes limites correspondent au graphique)

[Phoceen]

Donc lim (x tend vers 1, x 1) de f(x) = +inf

Que peut on en déduire pour la courbe de f ?

(Remarque : fais tracer la courbe par ta calculatrice et vérifie que tes limites correspondent au graphique)

Ba quand c'est supérieur à 1 c'est bien + l'inf et quand supèreiru c'est vers c'est en + aussi il me semble.

Et que peut -on en déduire, ba je ne comprend pas la question, je dois faire un calcul ou quelque chose ? On pourrait dire qu'elle est constante, enfin je ne sais vraiment pas

[titine]

Cours :
Lorsque la limite quand x tend vers a de f est égale à + ou - inf, la courbe de f admet une asymptote verticale d'équation x=a.

[Phoceen]

Donc il y a une asymptote verticale x = 1 ? Je ne voit pas ça sur ma calculatrice... mais bon. Donc du coup je dois faire quoi pour le 2.B ?

Dois-je calculer f(x) - y ?

[titine]

Donc il y a une asymptote verticale x = 1 ? Je ne voit pas ça sur ma calculatrice... mais bon.

Ah bon ? Es tu sûr d'avoir correctement saisi ta fonction ?
f(x) = (x^3 - 4x² + 8x -4)/(x - 1)²

Donc du coup je dois faire quoi pour le 2.B ?

Tes valeurs de a, b, c et d sont justes.
Pour montrer que la droite D d'équation y = x-2 est asymptote à la courbe Cf, il faut montrer que la limite en +inf et -inf de f(x) - (x-2) est égale à 0.

[Phoceen]

Sur le développement de f(x) - y je trouve ;

(3x-2) / (x-1) ²

C'est bien ça ?

[titine]

Oui !
Et ça tend bien vers 0 quand x tend vers l'infini !

[Phoceen]

Oui !
Et ça tend bien vers 0 quand x tend vers l'infini !

Par contre pour ça, pourriez vous détailler ? Je ne comprend pas pourquoi ça tend vers 0...

Et pour la 2C alors ?

[titine]

D'après le théorème sur les limtes à l'infini d'une fonction rationnelle :
lim (x tend vers inf) de (3x-2) / (x-1)² = lim (x tend vers inf) de 3x/x²
= lim (x tend vers inf) de 3/x = 0

Pour étudier la position de la courbe par rapport à la droite il faut étudier le signe de f(x) - (x-2)
Lorsque f(x) - (x-2) > 0, f(x) > (X-2) donc la courbe est au dessus de la droite.
Lorsque f(x) - (x-2) < 0, f(x) < (X-2) donc la courbe est en dessous de la droite.