Sup et inf

[Dinozzo13]

Voici mes résultats :
,
où et sont respectivement croissante et décroissante sur .
Et donc pour trouver l'inf et le sup, il faut évaluer suivant les valeurs de et : les signe de et ?

Il y a un petit problème, on est en fait sur un sous-ensemble de donc l'inf et le sup doivent être des couples.

[Skullkid]

Non, l'ensemble qui t'intéresse est un sous-ensemble de R, pas de N². De plus, je ne crois pas que tu aies dans ton cours des théorèmes sur l'existence de bornes sup/inf sur N² (il faut de toute façon choisir une relation d'ordre sur N² pour que ça ait un sens).

[Dinozzo13]

Donc au final je trouve que l'inf est 1/2 et le sup vaut 1. Est-ce correct ?

Existe-t-il un relation pour trouver facilement ces inf et sup ?
Par exemple, est-ce que l'inf est le plus petit des réels 1/2 et (1+y)/(1+2y) ; le sup est le plus grand des réels (x+1)/(x+2) et 1 ?

[Dinozzo13]

Donc au final je trouve que l'inf est 1/2 et le sup vaut 1. Est-ce correct ?

Existe-t-il un relation pour trouver facilement ces inf et sup ?
Par exemple, est-ce que l'inf est le plus petit des réels 1/2 et (1+y)/(1+2y) ; le sup est le plus grand des réels (x+1)/(x+2) et 1 ?

[raito123]

Oui c'est correct mais tu dois le démontrer ... pour ce ou tu montres que ces bornes sont atteintes ou bien qu'il existe une suite de (IN*)^2 telle que l'image de cette suite par ta fonction converge vers l'une des bornes ( la définition d'une borne quoi :) )

[Dinozzo13]

Eh bien c'est immédiat alors :
Si l'inf est le min de 1/2 et (1+y)/(1+2y) et le sup le max de (x+1)/(x+2) et 1 alors l'inf vaut 1/2 et le sup vaut 1.

[Doraki]

Eh bien c'est immédiat alors :
Si l'inf est le min de 1/2 et (1+y)/(1+2y) et le sup le max de (x+1)/(x+2) et 1 alors l'inf vaut 1/2 et le sup vaut 1.

Si tu dis ça parceque t'as montré que pour tout x,y (x+1)/(x+2) >= (x+y)/(x+2y) >= (1+y)/(1+2y), alors ouais ça tient debout.

[alm]

Salut,
Voici une autre manière d'analyser ce problème :
Soit, pour tout , l'ensemble :
La fonction définie par est croissante sur . Il en résulte que et .
.
On a : , donc et si est l'ensemble de tous les plus petits éléménts des ensembles , il est aisé de voir que .
Or car la fonction est décroissante sur si bien que , par suite , on a :

[Dinozzo13]

et si est l'ensemble de tous les plus petits éléménts des ensembles , il est aisé de voir que .
Or car la fonction est décroissante sur si bien que , par suite , on a :

.
Salut !

Je comprends bien le début mais à partir d'ici, je ne comprends pas bien, pourrais-tu m'expliquer.

[Dinozzo13]

Ah, je pe avoir compris, je vais faire de même avec le sup :++:

[mathelot]

je suis assez d'accord avec tout ce qui a été écrit précédemment

simple et élégant:
en posant , puis

on a juste à étudier les bornes des fonctions
et
sur

[alm]

Salut

.
Salut !

Je comprends bien le début mais à partir d'ici, je ne comprends pas bien, pourrais-tu m'expliquer.

l'ensemble est la réunin des quand décrit , donc la borne inférieur de est égale à celle del'ensembles des inf des

Plus comprendre miex on donne la démo dans le cas de deux parties de :
Si alors si et sont non vides et si est minoré B et C sont minorées et on a : .
En effet si est un minorant de A c'est bien aussi un minorant de B et de C , donc et sont minorées et et donc
Or si alors ou donc ou et comme et de même on a bien par passage à l'inf on a donc
Conclusion : compte tenue de et on a

[alm]

Ah, je pe avoir compris, je vais faire de même avec le sup :++:

Oui! et c'est déjà fait en haut car l'ensemble des sup est un singletons : ça ne pose aucun problème ...

[Dinozzo13]

D'ailleurs, je comprends pourquoi je ne voyais pas de borne sup, j'avais commis l'erreur de penser que ! :--: