Problème Mathématique

[meteo59223]

Bonjour,

Je fais appel à vos compétences car je suis bloqué à un petit problème d'ordre mathématique.

Explications :

En météorologie, il existe des modèles de prévisions brutes qui sortent de super-ordinateurs. Il en existe plusieurs à travers les différents organismes météo du monde. La NOAA qui est l'organisme de météo américain propose un modèle nommé "GFS" (Global Forecast System), couvrant le monde entier et libre d'accès au téléchargement et traitement de ses données. Par exemple la valeur de température à 2 mètres du sol/de la surface de la mer pour le monde entier, une des variables sur plus de 350 disponibles à différents niveaux d'altitude !

Ce modèle possède une précision géographique qui est de l'ordre de 0.5° de latitude/0.5° longitude, soit environ 50 km/50 km pour un gros rapprochement. On appelle ça des "Mailles". Or, si nous voulons faire une prévision rapprochée sur un point quelconque situé quelque part dans cette maille, on peut se baser sur l'un des le plus proche que nous connaissons, en sachant que la distance +/- grande peut faire varier le résultat de beaucoup et ainsi fausser la prévision.

C'est pour ça que l'interpolation des données, bien qu'étant théorique, permet quand-même d'obtenir un résultat beaucoup plus proche de la réalité et permet d'avoir plus de fiabilité. Aujourd'hui je fais des travaux sur ce principe et c'est là que je coince.

Je voudrais qu'à partir de 4 points connus (4 sommets d'une maille) je puisse trouver les valeurs de 32 points à travers cette maille. Ainsi, ayant à la base une maille de 0.5°, je me retrouve avec 25 mailles de 0.1°. Ce qui me permettera d'affiner mes prévisions avec plus de précision.

Voici un schéma illustrant mes dires, représentant une maille de 0.5° (avec à l'intérieur mes 25 mailles de 0.1°) :




Les 4 valeurs en noir sont connues et ce sont les valeurs en rouge et en bleu que j'aimerai découvrir par calcul informatique. Pour le moment, j'ai juste fait plusieurs calculs sur papier pour obtenir ces valeurs mais trop nombreux et complexes à organiser entre eux ; une formule mathématique serait plus appropriée.

J'espère que j'ai bien tout expliqué et que vous pourrez m'aider car ça fait plusieurs jours que j'épluche le web sans rien trouver ... N'hésitez pas à me poser des questions pour davantage d'explications.

Merci pour votre aide :lol3:

[le_fabien]

Bonjour ,
très intéressant ton petit problème.
J'ai regardé un peu ton tableau , tu as calculé les valeurs bleues et rouge en utilisant une progression arithmétique.
Si j'ai bien compris , tu voudrais une formule permettant d'avoir toutes les valeurs bleues et rouge à partir seulement des valeurs noires ?
En regardant bien chaque terme est égale à la moyenne arithmétique de tous les terme qui l'entoure , un pro d'excel devrait te résoudre ça.
Je vais essayé d'y réfléchir et je suis certain que d'autres vont y penser aussi ! :zen:

[Dlzlogic]

Bonjour,
Dans quel contexte étudiez-vous ça ?
Les angles de vos mailles carrées ont été établis comment ?
Pourquoi avez-vous des mailles carrées et non triangulaires ?
La position du relief entre-t-elle dans l'établissement de ce maillage ?
Il y a un certain nombre de façons de faire une interpolation dans une maille à 4 côtés, y a-t-il un moyen de choisir ?
Connaissez-vous l'interpolation bi-linéaire ?

Moi, je n'y connais rien, mais il y a des membre qui vous sortiront certainement une très jolie formule.

[meteo59223]

Bonjour,

Si j'ai bien compris , tu voudrais une formule permettant d'avoir toutes les valeurs bleues et rouge à partir seulement des valeurs noires ?

Oui voilà, du moins pour les valeurs bleues qui sont prioritaires on va dire. Après si il existe même une formule où je donne mes 4 points + le nombre de points/petits carré dans cette maille, c'est encore mieux !!!

Bonjour,
Dans quel contexte étudiez-vous ça ?
Les angles de vos mailles carrées ont été établis comment ?
Pourquoi avez-vous des mailles carrées et non triangulaires ?
La position du relief entre-t-elle dans l'établissement de ce maillage ?
Il y a un certain nombre de façons de faire une interpolation dans une maille à 4 côtés, y a-t-il un moyen de choisir ?
Connaissez-vous l'interpolation bi-linéaire ?

Moi, je n'y connais rien, mais il y a des membre qui vous sortiront certainement une très jolie formule.

J'étudie ça par passion pour le traitement des données informatique. J'aimerai créer mes propres cartes d'interpolées sur support web et je pense que ce principe est une bonne base pour débuter. Il existe des programmes tout fait mais en majorité en anglais et compliqués ; alors envie de relever le défi !

J'ai pris des carrés comme bases. Des triangulaires peuvent améliorer ce que je recherche ?

Non, la position du relief n'entre pas dans ce calcul, elle est ensuite +/- prise en compte après l'interpolation dans d'autres calculs plus simples et que je connais :ptdr: .

Je sais qu'il existe beaucoup d'interpolations, dont la bi-linéaire, mais je ne sais pas laquelle choisir et surtout interpréter dans cette situation. De plus je n'ai que le niveau 1ère STI côté math donc après ça devient plus compliqué ...

En fait je vais prendre un exemple réel pour un peu mieux vous expliquer. Imaginons donc 4 points géographiques où nous connaissons les valeurs comme sur mon schéma :

point a de coordonnées 50.5° Lat/3.5 Lon : = 10°C
point b de coordonnées 50.5° Lat/4 Lon : = 14°C
point c de coordonnées 50° Lat/4 Lon : = 12°C
point d de coordonnées 50° Lat/3.5 Lon : = 8°C

Je veux connaitre la température pour un point situé à l'intérieur de la maille, et qui a pour coordonnées géographiques 50.2 Lat/3.7 Lon. Là sur mon schéma, elle est de 10.7°C. Et donc ça par formule de préférence ...

Merci beaucoup de vous pencher sur ce problème, n'hésitez pas si vous avez d'autres questions. :lol3:

[Dlzlogic]

J'ai un peu de mal à bien comprendre où vous voulez en venir.
1- votre exemple est un cas particulier où les 4 points sont coplanaire si on considère le température comme troisième dimension. Dans le cas général, ce n'est pas vrai.
2- vous souhaitez faire de la cartographie, cela sous-entent de dessiner des isotherme, là, croyez-moi c'est plus compliqué.
3- la subdivision d'une maille carrée en éléments plus petits ne présente pas vraiment d'intérêt, puisque connaissant un point, on peut déterminer dans quelle maille il se trouve et suivant certaines hypothèses qu'on doit se fixer, déterminer sa température.
4- vous semblez dire que l'interpolation du relief est plus simple, cela mérite que vous détailliez un peu plus.

[meteo59223]

J'ai un peu de mal à bien comprendre où vous voulez en venir.
1- votre exemple est un cas particulier où les 4 points sont coplanaire si on considère le température comme troisième dimension. Dans le cas général, ce n'est pas vrai.
2- vous souhaitez faire de la cartographie, cela sous-entent de dessiner des isotherme, là, croyez-moi c'est plus compliqué.
3- la subdivision d'une maille carrée en éléments plus petits ne présente pas vraiment d'intérêt, puisque connaissant un point, on peut déterminer dans quelle maille il se trouve et suivant certaines hypothèses qu'on doit se fixer, déterminer sa température.
4- vous semblez dire que l'interpolation du relief est plus simple, cela mérite que vous détailliez un peu plus.

Peut-être qu'après j'ai faux dans mes calculs ; cependant ça correspond aux valeurs que j'ai obtenu sur un logiciel. Dans ce cas, qu'elle est la solution la plus adaptée à mon problème ?

Concernant les isothermes, j'ai un script adapté que j'ai conçu et qui fonctionne. Il me reste ce problème de maille à résoudre.

[el niala]

en essayant de ne pas polluer ce fil, juste 3 remarques :

- je suppose que les valeurs en noir sont théoriques, car je vois un sacré gradient de T° sur une diagonale de 70 km (à moins que celui d'altitude le soit aussi)

- pourquoi vouloir "remailler" plus finement ? pourquoi ne pas utiliser une relation moyenne type barycentrique ? tout point intérieur du carré maillé de 0,5°x0,5° aurait une température égale à la moyenne de celle des 4 sommets pondérée de la distance à ce point, c'est un peu plus long niveau calcul, mais s'il ne s'agit pas de cartographier c'est beaucoup moins lourd

- pour ce qui est de la correction d'altitude, la règle utilisée en AS (aéronautique) marche généralement très bien (-6°C par 1000 m), elle complique à peine la formule

[meteo59223]

en essayant de ne pas polluer ce fil, juste 3 remarques :

- je suppose que les valeurs en noir sont théoriques, car je vois un sacré gradient de T° sur une diagonale de 70 km (à moins que celui d'altitude le soit aussi)

- pourquoi vouloir "remailler" plus finement ? pourquoi ne pas utiliser une relation moyenne type barycentrique ? tout point intérieur du carré maillé de 0,5°x0,5° aurait une température égale à la moyenne de celle des 4 sommets pondérée de la distance à ce point, c'est un peu plus long niveau calcul, mais s'il ne s'agit pas de cartographier c'est beaucoup moins lourd

- pour ce qui est de la correction d'altitude, la règle utilisée en AS (aéronautique) marche généralement très bien (-6°C par 1000 m), elle complique à peine la formule

Oui les points sont théoriques pour l'exemple en effet.

Pour la relation moyenne type barycentrique, ca m'intéresse beaucoup. Pouvez vous mettre un exemple ainsi que le calcul fait ?

Pour la correction d'altitude, j'utilise la même règle.

[Dlzlogic]

@meteo59223,
La question importante : où voulez-vous en venir ?
Si vous avez fait un script de tracé d'isothermes, vous avez résolu des problèmes autrement plus compliqués que celui que vous posez.
Relisez ce que dit el niala, pourquoi remailler ?

[meteo59223]

@meteo59223,
La question importante : où voulez-vous en venir ?
Si vous avez fait un script de tracé d'isothermes, vous avez résolu des problèmes autrement plus compliqués que celui que vous posez.
Relisez ce que dit el niala, pourquoi remailler ?

Peut-être que j'explique mal car dur d'expliquer ce que je recherche ...

Tout ce que je veux, c'est pouvoir trouver par calcul la valeur d'un point en connaissant au minimum 4 autres autour. Dans mon cas il s'agit d'un carré avec 4 sommets de valeurs connues et ce point quelconque est à l'intérieur. J'ai fais ce maillage car ça me paraissait plus simple et plus représentatif de mon problème ; maintenant si il existe une autre solution qu'un remaillage pour y arriver, je suis tout aussi preneur. Je rappelle que je ne m'y connais pas vraiment en math.

Mon script de tracé d'isotherme ne fonctionne que si les points de même valeurs sont connus sur ma carte. Or si je ne les connais pas, je ne peux pas l'utiliser ...

[el niala]

un exemple ?

tout point M(L,l,z) appartient à un carré maillé A(Ta), B(Tb), C(Tc) et D(Td), un s/programme détermine ces 4 points, puis un autre (ou le même) s/p les distances dA, dB, dC et dD à ces 4 points comme celui-ci par exemple (car on est en pseudo-sphériques, proj Lambert sauf erreur)

en supposant que Ta, Tb, Tc et Td ont été ramenées à z=1013,25 hPa

on aura :

avec z en mètres bien sûr

[meteo59223]

un exemple ?

tout point M(L,l,z) appartient à un carré maillé A(Ta), B(Tb), C(Tc) et D(Td), un s/programme détermine ces 4 points, puis un autre (ou le même) s/p les distances dA, dB, dC et dD à ces 4 points comme celui-ci par exemple (car on est en pseudo-sphériques, proj Lambert sauf erreur)

en supposant que Ta, Tb, Tc et Td ont été ramenées à z=1013,25 hPa

on aura :

avec z en mètres bien sûr

Je pige à peu-près ... Mais je n'arrive pas à placer ça dans ma situation :hein:

[Dlzlogic]

Petite précision.
Si les coordonnées sont en longitude et latitude, il s'agit de coordonnées sphériques et non de projection.
Pour un calcul d'interpolation, linéaire, bilinéaire, pondérée, l'unité choisie est sans importance.
Si le calcul de distance entre 2 points de coordonnées géographiques vous intéresse, ça justifie un nouveau sujet.

Concernant l'interpolation d'une troisième dimension dans un quadrilatère, il existe une autre solution très rapide.
1- il y a 2 façons de diviser un quadrilatère en 2 triangle, on choisit l'une des deux, normalement celle pour laquelle la pente du triangle est la plus forte.
2- ce triangle est considéré comme un plan, et on interpole le point dans le plan.

L'interpolation en fonction de la distance a l'inconvénient de donner un poids trop important aux zones proches d'un point. Une représentation donnera un effet "chair de poule".

[Doraki]

J'comprends pas ce que tu cherches à faire.

Si dans les coins de ton carré, à la place de 10,14,8,12 il y a 10,20,0,5, il faut trouver quoi comme nombres au milieu

tout point M(L,l,z) appartient à un carré maillé A(Ta), B(Tb), C(Tc) et D(Td), un s/programme détermine ces 4 points, puis un autre (ou le même) s/p les distances dA, dB, dC et dD à ces 4 points comme celui-ci par exemple (car on est en pseudo-sphériques, proj Lambert sauf erreur)

en supposant que Ta, Tb, Tc et Td ont été ramenées à z=1013,25 hPa

on aura :

avec z en mètres bien sûr

Je pense que pour les coefficients tu ferais mieux d'utiliser l'inverse des distances plutôt que les distances :/

[Doraki]

tout point M(L,l,z) appartient à un carré maillé A(Ta), B(Tb), C(Tc) et D(Td), un s/programme détermine ces 4 points, puis un autre (ou le même) s/p les distances dA, dB, dC et dD à ces 4 points comme celui-ci par exemple (car on est en pseudo-sphériques, proj Lambert sauf erreur)

en supposant que Ta, Tb, Tc et Td ont été ramenées à z=1013,25 hPa

on aura :

avec z en mètres bien sûr

Je pense que pour les coefficients tu ferais mieux d'utiliser l'inverse des distances plutôt que les distances :/

[Dlzlogic]

J'comprends pas ce que tu cherches à faire.

Si dans les coins de ton carré, à la place de 10,14,8,12 il y a 10,20,0,5, il faut trouver quoi comme nombres au milieu


Je pense que pour les coefficients tu ferais mieux d'utiliser l'inverse des distances plutôt que les distances :/

A mon avis la question d'origine est très simple, il s'agit de trouver une méthode d'interpolation.
Ce qui est moins clair, c'est l'utilisation de ces résultats.

Concernant l'interpolation, étant donné 4 points, la valeur la plus probable pour un point quelconque appartenant au quadrilatère, maille rectangulaire en l'occurrence, est celle d'un point situé dans le plan défini par 3 points du quadrilatère. Dans certains cas, l'interpolation bilinéaire est meilleure.
Le calcul obtenu par une moyenne pondérée des 4 distances (le poids étant naturellement l'inverse de celle-ci) est intuitive mais présente des inconvénients.

Il y a lieu de préciser qu'il est beaucoup plus facile de travailler en 2D + une valeur, assimilable à une altitude, c'est à dire l'application de la géométrie cotée, plutôt qu'en véritable 3D.

Cependant, il me semble que Meteo veuille utiliser une représentation basée sur le principe d'un maillage rectangulaire, tel qu'un raster. Ceci impose de calculer la température pour chaque maille et afin d'obtenir une image avec un joli dégradé, il est nécessaire de diviser les mailles données en mailles plus petites. Cette opération ne change naturellement que l'aspect visuel.

[el niala]

J'comprends pas ce que tu cherches à faire.

Si dans les coins de ton carré, à la place de 10,14,8,12 il y a 10,20,0,5, il faut trouver quoi comme nombres au milieu

physiquement un delta de 20°C en 50 km (et alti constante) c'est impossible :hein:

Je pense que pour les coefficients tu ferais mieux d'utiliser l'inverse des distances plutôt que les distances :/

oui, bien sûr, j'ai des moments d'absence...

[Dlzlogic]

Bonjour,
Juste pour le fun.
Le calculateur cité par el Naila donne une distance avec neuf décimales, c'est à dire le 1/1000 de micron.
J'ai fait le calcul, sur une distance de 320 Km, je trouve 750 m. de plus (sauf erreur de ma part).
Interrogés sur la précision de ce type de calcul, l'IGN m'a affirmé qu'on pouvait obtenir le millimètre, mais qu'avec les méthodes habituelles, déjà pas vraiment simples, la précision obtenue était de quelques décimètres.
Petite information qu'il me paraissait utile d'apporter.

Chose plus importante, depuis le début, on parle de carré d'un demi degré de côté. Cette figure n'est certainement pas un carré. On ne sait pas comment Meteo mettra en relation ces cartes de température et la carte de la région concernée.

[meteo59223]

Excusez mon absence depuis hier.

Bon à relire tout vos posts et à faire le bilan, je me suis complètement planté en croyant faire une interpolation avec mon système de petits carrés ...

Alors que puis-je faire ? Car là de ce fait, d'après plusieurs explications, je peux trouver la valeur d'un points quelconque dans un carré en connaissant sa distance entre chaques sommets. Ca c'est pour obtenir un seul point voulu.

L'explication de elniala concernant le barycentre m'intéresse, mais je n'arrive pas à la projeter sur mon problème.

Sinon, quelle(s) solution(s) d'interpolation pouvez-vous apporter à mon problème ? Par exemple, de quelle(s) façon(s) sont faites les cartes informatiques de données interpolées, telles que celles générées par le logiciel GrADS ?

Merci à vous :lol3:

PS : N'hésitez pas à me contacter par message privé si besoin.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Pour l'interpolation, je pense que le plus simple est d'interpoler sur les côtés du quadrilatère, puis d'interpoler entre ces points.
Je ne connais pas GrADS, il faudrait que je le charge. Je suppose que le fichier fourni est sous forme raster, c'est à dire que chaque pixel contient une valeur qui correspond à une température.
Le problème le plus difficile sera de mettre en correspondance ces infirmations avec une carte.
J'envoie ce message (pour pas le perdre une seconde fois) et je regarde GrADS.