Chaine de Markov challenge

[zephira]

Bonjour,
Voila un "défi" que nous a posé notre professeur :

Soit (Xn)n>0 une chaine de Markov sur N de matrice de transition donnée par:
P(0,1)=1
P(x,x-1)+P(x,x+1)=1
P(x,x+1)=P(x,x-1)*[(x+1)/x]^2
Montrer que la chaîne est irreductible et transiante et calculer la probabilité de partir de 0 et de ne jamais y revenir.

Montrer que la chaîne est irréductible et transiante ok
Calculer la proba de partir de 0 et de ne jamais y revenir :help:

[Doraki]

Si tu appelles pour i>=1, Q(i) = la probabilité, en partant de i, de ne jamais te retrouver en (i-1),
tu devrais pouvoir écrire une relation entre Q(i) et Q(i+1).

Malheureusement ça ne nous dit pas si la seule solution est "Q(i)=0 pour tout i" ou si il y en a une autre plus grande, et j'ai pas trop réfléchi sur pourquoi est-ce que le vrai résultat serait la plus grande solution et pas "Q(i)=0 pour tout i".

[zephira]

Je ne comprend pas bien ton raisonnement.
Si tu cherches "Q(i)=0 pour tout i" alors tu supposes que ta chaine ne fait que monter. néanmoins tu vois bien que si la chaine part de 0 vas en 1 puis oscille continument entre 1 et 2 alors elle ne repassera jamais en 0 et pourtant un pas sur deux on part de 2 et on va en 1. et donc Q(2)!=0

J'ai lâché l'affaire, je n'ai absolument aucune idée de la façon dont on résout ce problème malgré avoir avalé plusieurs boîtes d'aspirine. :mur: :mur: :mur:

[Doraki]

non, Q(i) = 0 pour tout i, ça veut dire que la chaîne passe par chaque case une infinité de fois, presque sûrement.

Et je vois bien que si la chaîne part de 0, va vers 1, puis oscille entre 1 et 2, ça décrit un événement de probabilité 0 donc qui n'a aucune importance.

[zephira]

peux tu m'expliquer le Q(i)=0 pour tout i car je ne comprends pas stp
Q(1)=0 c'est la probabilité, étant en 1 de ne jamais descendre en 0 ?

Par ailleurs la chaine est transiente donc la proba de passer une infinité de fois en un point est nulle non ?

Ps : je débute en chaine de markov et j'ai un peu de mal

[Doraki]

Tu peux détailler comment tu as montré qu'elle était transiente ?
Je vois pas trop comment le faire sans faire un calcul non évident quelquepart.

[zephira]

en effet mon raisonnement était faux. Le prof nous a donné la solution et en effet je n'aurai jamais sur résoudre ce problème. Voici la solution :

[zephira]

parfois les maths ca fait rêver :)