Les résolutions des equations différentielles

par **lyrah** » 15 Avr 2006, 13:10

Bonjour à tous,

J'aimerai comprendre comment resoudre cette equation différentielle. J'ai essayé mais je bloque toujours y'+y = ex +4 et y(0) =5

En fait je tourne en rond et j'arrive pas à le résoudre

Merci :hum:

par **Touriste** » 15 Avr 2006, 13:45

Bonjour,

Pour résoudre une équa diff comme la tienne, il y a deux étapes.
D'abord, tu résouds l'équation homogène (y'+y=0). On note y_h les solutions (tu as une constante indéterminée). Ensuite, tu trouves une solution particulière de ton équation avec le 2e membre. On note y_p cette solution, elle vérifie y_p'+y_p=ex+4.
Les solutions de ton équation de départ sont les y_h+y_p. Il ne te reste plus qu'à trouver la constante figurant dans y_h en utilisant la condition initiale.

par **Mikou** » 15 Avr 2006, 18:01

tout a fait, utilise le th de cauchy lipschitz

par **serge75** » 16 Avr 2006, 15:43

Tu résouds d'abord ton équation sans t'occuper de tes conditions initiales. L'équation étant linéaire, on résoud d'abord sans second membre : on obtient la solution générale y=A.exp(x). Puis on cherche une solution particulière de l'équation complète. Il peut être ici astucieux d'utiliser le principe de superposition en cherchant successivement une SP de y'=y+4 (y=-4 est solution évidente) et de y'=y+exp(x) : faire la variation de la constante en cherchant sous la forme y=A(x)exp(x) : tu obtiens une SP notée y1.
Une SP de l'éq de départ est alors y1+4, et la solution générale de l'éq de départ est :
y=Aexp(x)+y1(x)+4.
Maintenant, et maintenant seulement, tu t'occupes de tes conditions initiales pour déterminer A, et tu trouves alors une solution unique.
Cordialement.
Serge

par **lyrah** » 17 Avr 2006, 16:30

:cry: voici ce que j'ai fait, je ne sais pas si c'est le bon méthode ou non

y' + y =0

y = aex +b donc y' = axex

alors l'equation devient: axex + aex + b =0
c'est exact?

ou encore : ex ( ax+a) +b =0 donc c'est cette equation que je dois resoudre?

par **serge75** » 18 Avr 2006, 01:04

Non c'est faux. Relis mon post au dessus.

par **lyrah** » 18 Avr 2006, 12:34

ok

donc la 1ère étape donne l'equation suivant: y = Aexp(x)

En second étape je dois resoudre y =A exp(;)x) + y1 +4

mais comment dois je trouver le y1? car je sais que y = -4 est une solution évidente mais ce qui me chagrine c'est la manière de trouver la SP et comment utilisé la superposition?

car si je dois resoudre cette equation ça me donne

comme y (0) =5

alors 5 = A + y1 +4
et ici on se retrouve avec une equation et 2 inconnue :mur: c'est exact?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 13:00

Bonjour,

Attention, y1 est une fonction. Comme te l'a écrit serge75, cherche y1 de la forme y1(x)=A(x)exp(-x) où A(x) est une fonction que l'on cherche à déterminer.

PS : Il y a une petite erreur dans le post de serge75 (et par conséquent dans le tien) : la solution générale est de la forme Aexp(-x) (et pas Aexp(x)) .

par **lyrah** » 18 Avr 2006, 18:20

Voici ce que j'ai fait, je ne sais pas si c'est correct ou non

étape 1 nous donne y = k exp(-x)

mais j'aimerai bien comprendre comment on peut le trouver car y' + y =0 puis après il faut faire la primitive non? C'est là en fait qui me bloque

étape2

y = A exp(;)x) +y1 + 4

or y1 = A exp(-x)

donc y = A exp(

x -x) + 4

comme nous avons y(0) = 5

alors 5 = A(0) + 4

donc A= 1

Enfin la solution finale de l'aquation est

y = k exp(-x) + 1

est ce exact?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 18:27

Salut,

Je pense que tu n'as pas compris comment trouver y1. On pose y1(x)=A(x)exp(-x) où A est une fonction. Peux-tu me dire ce que vaut la dérivée de y1 ?

par **lyrah** » 18 Avr 2006, 18:44

Si A est une fonction alors je crois que c'est

y1'(x) = A'(x) exp(-x) - A(x) exp(-x)

mais on peut factoriser donc ça fait

y1' = exp(-x) ( A'(x) -A(x) ) c'est ça non?

En fait quand on pose y1 c'est un choix libre ou on le trouve comment?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 18:59

Tout à fait d'accord. Ensuite tu veux que y1 soit solution de l'équation y1'+y1=exp(x). Qu'est ce que tu obtiens quand tu remplaces y1 et y1' par leurs expressions ?

par **lyrah** » 18 Avr 2006, 19:35

donc si on remplace y1' + y1 = exp(x)

ça donne
exp(-x) (A'(x) -A(x))+ A(x) exp(-x) = exp(x)

on factorise ça donne

exp(-x) [ ( A'(x) - A(x) ) + A(x) ] = exp(x) ça fait bien cela?
il nous reste plus que

exp(-x) [ A'(x) ] = exp(x) tjs vrai?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 20:19

Exact donc A'(x)=...

par **lyrah** » 18 Avr 2006, 20:21

donc A'(x) = exp(2x)

Et après?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 20:25

Après A(x) est une primitive de exp(2x). Tu as alors ta solution particulière et tu peux conclure la résolution de ton équation.

par **lyrah** » 18 Avr 2006, 20:35

donc si j'ai bien compris A(x) = exp(2x)/2 c'est la primitive de exp(2x) c'est bien ça?

je remplace ds y1
ce qui nous donne y1 = (exp(2x)/2) * exp(-x) ce qui nous ramène à

y1 = exp(x) /2
tjs sexact?

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 21:37

C'est toujours exact !

par **lyrah** » 19 Avr 2006, 10:56

Merci beaucoup!!

Donc la solution finale est y = exp(-x) (1/2) + exp(x) /2 +4

C'est juste?

par **Touriste** » 19 Avr 2006, 10:58

Exact !!! :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr:

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